Question

16．已知点P坐标为（0，2），点A是抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1上在第一象限内的一个动点，直线AP与抛物线的另一个交点为点B，连结AO，BO．
（1）当点A的纵坐标为5时，求点B的坐标；
（2）判断以点A为圆心，AP为半径的圆与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）求证：∠AOP=∠BOP．

Answer 1

分析 （1）将点A的纵坐标5代入抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1，可得点A的坐标，再根据待定系数法可得直线AP的解析式，联立抛物线和直线解析式即可得到点B的坐标；
（2）设点A的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m²+1），根据两点间的距离公式得到PA的长，依此即可求解；
（3）分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D．可证AC∥PO∥BD，根据平行线的性质和等量代换可得$\frac{BD}{DO}$=$\frac{AC}{CO}$，可得△BDO∽△ACO，再根据相似三角形的性质即可求证．

解答 （1）解：当y=5时，$\frac{1}{4}$x²+1=5，解得x=±4（负值舍去），
则A（4，5），
设直线AP的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=5}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故直线AP的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+2．
联立直线AP的解析式和抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1的解析式，可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=5}\end{array}\right.$（不合题意舍去）
∴B（-1，$\frac{5}{4}$）；

（2）解：设点A的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m²+1），
则PA=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1．
所以，以点A为圆心，AP为半径的圆与x轴相切．

（3）证明：分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D．
由（2）知，AC=AP，
同理可得，BD=BP．
∵AC，PO，BD都垂直于x轴，
∴AC∥PO∥BD，
∴$\frac{BP}{DO}$=$\frac{AP}{CO}$，
∴$\frac{BD}{DO}$=$\frac{AC}{CO}$，
∴△BDO∽△ACO，
∴∠AOC=∠BOD，
∴∠AOP=∠BOP．

点评 考查了二次函数综合题，涉及直线解析式的确定，函数图象交点的求法，两点间的距离公式，平行线的性质，相似三角形的判定和性质、方程思想的运用等知识点．