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已知一元二次方程x2-4x-5=0的两个实数根为x1、x2,且x1<x2.若x1、x2分别是抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点A、B的横坐标(如下图所示).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线与y轴的交点为C,抛物线的顶点为D,请直接写出点C、D的坐标并求出四边形ABDC的面积;
(3)是否存在直线y=kx(k>0)与线段BD相交且把四边形ABDC的面积分为相等的两部分?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
[注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()].

【答案】分析:(1)由方程x2-4x-5=0得方程的两根,即可得AB的坐标,将其代入函数的解析式可得bc的值,进而可得其解析式;
(2)由(1)求出的解析式,可得CD的坐标,再根据图形间的关系,可得四边形ABDC的面积;
(3)假设存在并设出其解析式,易得BD的方程,根据题意中的面积关系,可得关系式,解之有符合条件的解,故存在符合条件的直线.
解答:解:(1)由方程x2-4x-5=0得方程的两根x1=-1,x2=5.
所以A、B的坐标分别为A(-1,0)、B(5,0).(1分)
把A(-1,0)、B(5,0)代入y=-x2+bx+c

解得(2分)
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5.(3分)

(2)C(0,5)、D(2,9).(5分)
如图所示,过D作DE⊥x轴于点E,则
S四边形ACDB=S△AOC+S四边形OCDE+S△EDB
=(6分)
=
=16+14
=30.(7分)

(3)存在满足条件的直线.(8分)
设过B、D两点的直线解析式为y=k1x+d,
把B(5,0)、D(2,9)代入y=k1x+d
(9分)
解得
∴直线BD的解析式为y=-3x+15.(10分)
设y=kx与y=-3x+15的交点为F(m,n),作直线OF,
则S△OBF=S四边形ABDC,即OB×n=15,
×5n=15,
∴n=6.
又∵点F(m,6)在y=-3x+15上,
∴6=-3m+15.
∴m=3.
∴点F(3,6).(11分)
把点F(3,6)代入y=kx,
得6=3k,即k=2.(12分)
点评:本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力.
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