Question

17．如图，直线y=x-1与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A的坐标为（-1，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P（n，-1）是反比例函数图象上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，延长EP交直线AB于点F，求△CEF的面积．
（3）在x轴上是否存在点Q，使得△QBC是等腰三角形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入直线AB的解析式中即可求出m的值，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数解析式；
（2）由直线AB的解析式可求出点C的坐标，将点P的坐标代入反比例函数解析式中可求出n值，从而可得出点E、F的坐标，由此可得出线段EF、CE的长度，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）假设存在，设点Q的坐标为（a，0）．联立直线AB与反比例函数解析式可求出点B的坐标，由此即可得出线段BC、BQ、CQ的长，根据等腰三角形的性质分BC=BQ、BC=CQ以及BQ=CQ三种情况考虑，由此可得出关于a的方程，解方程即可求出点Q的坐标，此题得解．

解答 解：（1）把A（-1，m）代入y=x-1，
∴m=-2，
∴A（-1，-2）．
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=-1×（-2）=2，
∴反比例函数的表达式为：y=$\frac{2}{x}$．
（2）令y=x-1中y=0，则0=x-1，解得：x=1，
∴C（1，0）．
把P（n，-1）代入y=$\frac{2}{x}$中，得：-1=$\frac{2}{n}$，
解得：n=-2，
∴P（-2，-1）．
∵PE⊥x轴，
∴E（-2，0）．
令y=x-1中x=-2，则y=-2-1=-3，
∴F（-2，-3）．
∴CE=3，EF=3，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$CE•EF=$\frac{9}{2}$．
（3）假设存在，设点Q的坐标为（a，0）．
联立直线AB和反比例函数解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴B（2，1）．
∴BC=$\sqrt{（2-1）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{2}$，CQ=|a-1|，BQ=$\sqrt{（2-a）^{2}+（1-0）^{2}}$．
△QBC是等腰三角形分三种情况：
①当BC=CQ时，有$\sqrt{2}$=|a-1|，
解得：a₁=1+$\sqrt{2}$，a₂=1-$\sqrt{2}$，
此时点Q的坐标为（1+$\sqrt{2}$，0）或（1-$\sqrt{2}$，0）；
②当CQ=BQ时，有|a-1|=$\sqrt{（2-a）^{2}+（1-0）^{2}}$，
解得：a₃=2，
此时点Q的坐标为（2，0）；
③当BC=BQ时，有$\sqrt{2}$=$\sqrt{（2-a）^{2}+（1-0）^{2}}$，
解得：a₄=3，a₅=1，
此时点Q的坐标为（3，0）或（1，0）（舍去）．
综上可知：在x轴上存在点Q，使得△QBC是等腰三角形，Q点坐标为（1+$\sqrt{2}$，0）、（1-$\sqrt{2}$，0）、（2，0）或（3，0）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）求出点C、E、F的坐标；（3）分三种情况找出关于a的方程．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式是关键．