Question

已知：如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．

Answer 1

分析：从切线的判定为目标，来求BD⊥AB，连接AC通过相似来证得；通过已知条件和第一步求得的三角形相似求得BD的长度．

解答：（1）证明：连接AC，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
又∵OD⊥BC
∴AC∥OE
∴∠CAB=∠EOB
由

AC

对的圆周角相等
∴∠AEC=∠ABC
又∵∠AEC=∠ODB
∴∠ODB=∠OBC
∴△DBF∽△OBD
∴∠OBD=90°
即BD⊥AB
又∵AB是直径
∴BD是⊙O的切线．

（2）解：∵OD⊥弦BC于点F，且点O圆心，
∴BF=FC
∴BF=4
由题意OB是半径即为5
∴在直角三角形OBF中OF为3
由以上（1）得到△DBF∽△OBD
∴

BD

BF

=

OB

OF

即得BD=

20

3

．

点评：本题考查了切线的判定及其应用，通过三角形相似求得，本题思路很好，是一道不错的题．