Question

9．等边△ABC，P为BC中点，∠MPN=60°，求证：△BPM∽△CNP∽△PNM；MP平分∠BMN；NP平分∠CNM；MN=BM+CN-$\frac{1}{2}$AB；BM•CN=$\frac{1}{4}$AB²．

Answer 1

分析 首先证明△BMP∽△CPN，推出$\frac{PM}{PN}$=$\frac{BM}{PC}$=$\frac{PB}{CN}$，由PB=PC，得到$\frac{PM}{BM}$=$\frac{PN}{BP}$，由此可证△BPM∽△CNP∽△PNM；根据相似三角形对应角相等，可以判断MP平分∠BMN；NP平分∠CNM；如图2中，作PE⊥MN于E，PF⊥AC于F，PG⊥AB于G，由△PMG≌△PME，推出MG=ME，再根据MN=ME+EN=MG+NF=BM-BG+CN-CF=BM+CN-BG-CF，即可证明MN=BM+CN-$\frac{1}{2}$AB，由△BMP∽△CPN，推出$\frac{BM}{PC}$=$\frac{PB}{CN}$，即可证明BM•CN=$\frac{1}{4}$AB²．

解答 证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵∠MPN=60°，∠MPC=∠B+∠PMB=∠MPN+∠NPC，
∴∠PMB=∠NPC，∵∠B=∠C，
∴△BMP∽△CPN，
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{BM}{PC}$=$\frac{PB}{CN}$，
∵PB=PC，
∴$\frac{PM}{BM}$=$\frac{PN}{BP}$，∵∠B=∠MPN=60°，
∴△BMP∽△PMN∽△CPN．
∴∠BMP=∠PMN，∠MNP=∠CNP，
∴MP平分∠BMN；NP平分∠CNM．
如图2中，作PE⊥MN于E，PF⊥AC于F，PG⊥AB于G．
∵MP平分∠BMN；NP平分∠CNM，
∴PG=PE=PF，
在Rt△PMG和Rt△PME中，
$\left\{\begin{array}{l}{PM=PM}\\{PG=PE}\end{array}\right.$，
∴△PMG≌△PME，
∴MG=ME，同理可证NE=NF，
∴MN=ME+EN=MG+NF=BM-BG+CN-CF=BM+CN-BG-CF，
在Rt△PBG中，∵∠B=60°，∠PGB=90°，
∴∠BPG=30°，
∴BG=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{4}$BC=$\frac{1}{4}$AB，同理可证CF=$\frac{1}{4}$AB，
∴MN=BM+CN-$\frac{1}{4}$AB-$\frac{1}{4}$AB=BM+CN-$\frac{1}{2}$AB．
∵△BMP∽△CPN，
∴$\frac{BM}{PC}$=$\frac{PB}{CN}$，
∴BM•CN=PC•PB=$\frac{1}{2}$•BC•$\frac{1}{2}$•CB=$\frac{1}{4}$BC²=$\frac{1}{4}$AB²．

点评 本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．