Question

已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于D．如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程x²-3（r-2）x+r²-4=0的两个实数根．
求：（1）AC、BC的长；（2）CD的长．

Answer 1

分析：（1）△ECB与△EAC相似，得出AC，BC的关系，结合二次方程得出AC，BC，r的长．
（2）连接CO并延长交⊙O于F，证明△ACF∽△DCB，根据相似三角形的性质求出CD的长．

解答：解：（1）∵CE切⊙O于C
∴∠ECB=∠A，∠E=∠E
∴△ECB∽△EAC
∴BC：AC=BE：CE=1：2
∴AC=2BC
∵

AC+BC=3(r-2) AC•BC=r2-4

∴

BC=r-2 2BC2=r2-4

解得BC=4，r=6，AC=8．

（2）连接CO并延长交⊙O与F，连接AF
∵∠CAF 90°，∠CFA=∠CBD
∵∠CDB=90°=∠CAF
∴△CAF∽△CDB
∴AC：CD=CF：BC
∴CD=

AC•BC

CF

=

8×4

12

=

8

3

．

点评：综合考查了相似三角形的判定和性质，以及二次方程根与系数的关系，会解方程组．