Question

已知：抛物线C₁：与C₂：y=x²+2mx+n具有下列特征：①都与x轴有交点；②与y轴相交于同一点．
（1）求m，n的值；
（2）试写出x为何值时，y₁＞y₂？
（3）试描述抛物线C₁通过怎样的变换得到抛物线C₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于两函数都与x轴有交点，可令抛物线C₁中，y=0，得出的方程必有△≥0，时，据此可求出的m的值，由于两函数与y轴的交点相同，可先根据C₁求出与y轴的交点，然后代入C₂中即可求出n的值．
（2）根据（1）可得出两函数的解析式，令y₁＞y₂，可得出一个不等式方程，即可求出x的取值范围．
（3）将两函数化为顶点式，即可得出所求的结论．
解答：解：（1）由C₁知：△=（m+2）²-4×（m²+2）=m²+4m+4-2m²-8=-m²+4m-4=-（m-2）²≥0，
∴m=2．
当x=0时，y=4．∴当x=0时，n=4；

（2）令y₁＞y₂时，x²-4x+4＞x²+4x+4，
∴x＜0．
∴当x＜0时，y₁＞y₂；

（3）由C₁向左平移4个单位长度得到C₂．
点评：本题主要考查了函数图象的交点、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象的平移等知识．
根据已知条件用根的判别式得出m的值进而求出两函数的解析式是解题的关键．