Question

如图，已知在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a、b是关于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的两个根，点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E，
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若tanA=，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：由已知，得x²-（c+4）x+4（c+2）=0，
由两根关系定理得a+b=c+4，ab=4（c+2），
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（c+4）²-8（c+2）=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）解：连接OE，设BO=OE=r，
∵⊙O切AC于点E，
∴OE⊥AC，
在Rt△ABC中，由tanA==，设BC=a=3x，则AC=b=4x，
则AB=c=5x，代入a+b=c+4中，得
3x+4x=5x+4，
解得x=2，
∴a=3x=6，b=4x=8，c=5x=10，
∵OE⊥AC，BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴==，
即==，
解得r=，AE=5．
分析：（1）将一元二次方程整理为一般形式，由两根关系定理得a+b=c+4，ab=4（c+2），根据a²+b²=（a+b）²-2ab，将两根关系的式子代入得出a²+b²=c²，根据勾股定理的逆定理判断；
（2）连接OE，在Rt△ABC中，由tanA==，设BC=a=3x，则AC=b=4x，由勾股定理得AB=c=5x，代入a+b=c+4中求x，由OE⊥AC，BC⊥AC，可证△AOE∽△ABC，设BO=OE=r，由相似得==，先求r，再求AE．
点评：本题属于压轴题，综合考查了一元二次方程的两根关系，勾股定理逆定理的运用，切线的性质，相似三角形及解直角三角形的知识，关键是根据题意，找到解题的突破口．