Question

3．如图，点M是抛物线y=ax²（x＞0）上的任意一点，MA⊥x轴于点A，MB⊥y轴于点B，连接AB，交抛物线于点P，则$\frac{PA}{PB}$的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• C． $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 假设M的坐标为（1，a），所以OA=1，OB=a，从而可求出直线AB的解析式，然后与抛物线联立即可求出P的坐标，从而可求出答案．

解答 解：过点P作PC⊥x轴于点C，设M的坐标为（1，a），
∴OA=1，OB=a，
∴A（1，0），B（0，a）
设直线AB的解析为y=kx+b，
将A（1，0），B（0，a）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{a=b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-a}\\{b=a}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-ax+a，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-ax+a}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$
解得：x=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∴P的横坐标为：x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴OC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴AC=OA-OC=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∵PC∥y轴，
∴$\frac{PA}{PB}=\frac{AC}{OC}$=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
故选（A）

点评 本题考查抛物线的综合问题，解题的关键是点M的坐标为（1，a）从而求出点P的坐标，本题属于基础题型．