Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N．下列结论：
①BH=DH；②CH=；③．
其中正确的是（ ）

A．①②③
B．只有②③
C．只有②
D．只有③

Answer 1

【答案】分析：①如图，过H作HM⊥BC于M，根据角平分线的性质可以得到DH=HM，而在Rt△BHM中BH＞HM，所以容易判定①是错误的；
②设HM=x，那么DH=x，由于∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，由此得到∠DBC=45°，而AD∥CB，由此可以证明△ADB是等腰直角三角形，又CE平分∠BCD，∠BDC=∠ABC=90°，由此可以证明△DCH∽△EBC，再利用相似三角形的性质可以推出∠BEH=∠DHC，然后利用对顶角相等即可证明∠BHC=∠BEH，接着得到BH=BE，然后即可用x分别表示BE、EN、CD，又由EN∥DC可以得到△DCH∽△NEH，再利用相似三角形的性质即可结论②；
③利用（2）的结论可以证明△ENH∽△CBE，然后利用相似三角形的性质和三角形的面积公式即可证明结论③．
解答：解：①如图，过H作HM⊥BC于M，
∵CE平分∠BCD，BD⊥DC
∴DH=HM，
而在Rt△BHM中BH＞HM，
∴BH＞HD，
∴所以容易判定①是错误的；

②∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，而∠EBC=∠BDC=90°，
∴∠BEH=∠DHC，
而∠DHC=∠EHB，
∴∠BEH=∠EHB，
∴BE=BH，
设HM=x，那么DH=x，
∵BD⊥DC，BD=DC，
∴∠DBC=∠ABD=45°，
∴BH=x=BE，
∴EN=x，
∴CD=BD=DH+BH=（+1）x，
即=+1，
∵EN∥DC，
∴△DCH∽△NEH，
∴=+1，即CH=（+1）EH；

③由②得∠BEH=∠EHB，
∵EN∥DC，
∴∠ENH=∠CDB=90°，
∴∠ENH=∠EBC，
∴△ENH∽△CBE，
∴EH：EC=NH：BE，
而，
∴．
所以正确的只有②③．
故选B．
点评：此题比较复杂，综合性很强，主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质．