如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=6.BC=8.现有一点O从点A出发.沿AB方向运动.当到达点B时.运动停止.以点O为圆心.r为半径的圆记为⊙O．(1)在某一时刻.⊙O同时与直线AC.BC相切时.①在图中作出⊙O(写出作法.保留作图痕迹),②求出此时r的值．(2)根据⊙O的运动过程.直接写出如下两问的答案:①当r=3时.⊙O先与△ABC哪条� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，现有一点O从点A出发，沿AB方向运动，当到达点B时，运动停止，以点O为圆心，r为半径的圆记为⊙O．
（1）在某一时刻，⊙O同时与直线AC、BC相切时，
①在图中作出⊙O（写出作法，保留作图痕迹）；
②求出此时r的值．
（2）根据⊙O的运动过程，直接写出如下两问的答案：
①当r=3时，⊙O先与△ABC哪条边相切？
②若⊙O先和直线BC相切，再和直线AC相切，则r的范围是什么？

分析（1）①作∠ACB的平分线交AB一点，此点就是与直线AC、BC相切时的圆心O；
②易证得四边形OECF是正方形，然后根据平行线分线段成比例定理即可求得；
（2）①根据（1）即可得到结论；
②由（1）求得的结果结合图形即可得到结论．

解答解：（1）①作∠ACB的平分线交AB一点，此点就是与直线AC、BC相切时的圆心O；

②设AC上的切点为E，BC上的切点为F，
∵OE=OF=r，∠C=∠CEO=∠CFO=90°，
∴四边形OECF是正方形，
∴CE=CF=r，
∵OE∥BC，
∴$\frac{OE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{r}{8}$=$\frac{6-r}{6}$，
解得r=$\frac{24}{7}$；
（2①）由（1）②可知：r=3时，⊙O先与△ABC的AC边相切；
②若⊙O先和直线BC相切，再和直线AC相切，则r的范围是$\frac{24}{7}$≤r≤6，

点评本题考查的是直线与圆的位置关系以及切线的性质，掌握圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切是解题的关键．

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