Question

9．如图，以?ABCD的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交BC于D，连接AD．
（1）求过点A的反比例函数和直线BC的解析式；
（2）求四边形AOCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质结合点A、C的坐标可得出点B的坐标，由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，从而得出反比例函数解析式，再由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式；
（2）联立反比例函数与直线BC的解析式成方程组，解方程组求出交点D的坐标，从而得出点D是线段BC的中点，由此可得知S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_{平行四边形ABCD}，再利用平行四边形的面积公式即可求出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），
∴点B的坐标为（5，4），
∵点A（2，4）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$．
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把点B（5，4），C（3，0）代入y=mx+n中得：$\left\{\begin{array}{l}{4=5m+n}\\{0=3m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-6}\end{array}\right.$．
∴直线BC的解析式为y=2x-6．
（2）联立直线BC与反比例函数解析式$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-6}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-8}\end{array}\right.$（舍去），
∴点D的坐标为（4，2），
∵点B（5，4），C（3，0），
∴点D为线段BC的中点，
∴S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_{平行四边形ABCD}，
∴S_{四边形AOCD}=S_{平行四边形ABCD}-S_△ABD=3×4-$\frac{1}{4}$×3×4=9．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）根据平行四边形的性质找出点B的坐标；（2）解方程组求出交点D的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．