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如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在第三象限内,F为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3,求点F的坐标;

(3)点P从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值.

 

【答案】

(1)y=﹣x2﹣2x+3

(2)点F的坐标为(

(3)当t为秒或2秒或3秒或秒时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形。

【解析】

试题分析:(1)先由直线AB的解析式为y=x+3,求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标,再将A、B两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式。

∵y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,

∴当y=0时,x=﹣3,即A点坐标为(﹣3,0),当x=0时,y=3,即B点坐标为(0,3)。

将A(﹣3,0),B(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得

,解得

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3。

(2)设第三象限内的点F的坐标为(m,﹣m2﹣2m+3),运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标,再设抛物线的对称轴与x轴交于点G,连接FG,根据SAEF=SAEG+SAFG﹣SEFG=3,列出关于m的方程,解方程求出m的值,进而得出点F的坐标。

如图1,设第三象限内的点F的坐标为(m,﹣m2﹣2m+3),

则m<0,﹣m2﹣2m+3<0。

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,

∴对称轴为直线x=﹣1,顶点D的坐标为(﹣1,4)。

设抛物线的对称轴与x轴交于点G,连接FG,

则G(﹣1,0),AG=2。

∵直线AB的解析式为y=x+3,

∴当x=﹣1时,y=﹣1+3=2。∴E点坐标为(﹣1,2)。

∵SAEF=SAEG+SAFG﹣SEFG

=×2×2+×2×(m2+2m﹣3)﹣×2×(﹣1﹣m)=m2+3m,

∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时,m2+3m=3,

解得m1=,m2=(舍去)。

当m=时,﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=

∴点F的坐标为()。

(3)设P点坐标为(﹣1,n),.

∵B(0,3),C(1,0),∴BC2=12+32=10。

分三种情况:

①如图2,如果∠PBC=90°,那么PB2+BC2=PC2

即(0+1)2+(n﹣3)2+10=(1+1)2+(n﹣0)2

化简整理得6n=16,解得n=

∴P点坐标为(﹣1,)。

∵顶点D的坐标为(﹣1,4),

∴PD=4﹣=

∵点P的速度为每秒1个单位长度,∴t1=秒。

②如图3,如果∠BPC=90°,那么PB2+PC2=BC2

即(0+1)2+(n﹣3)2+(1+1)2+(n﹣0)2=10,

化简整理得n2﹣3n+2=0,解得n=2或1。

∴P点坐标为(﹣1,2)或(﹣1,1),

∵顶点D的坐标为(﹣1,4),

∴PD=4﹣2=2或PD=4﹣1=3。

∵点P的速度为每秒1个单位长度,∴t2=2秒,t3=3秒。

③如图4,如果∠BCP=90°,那么BC2+PC2=PB2

即10+(1+1)2+(n﹣0)2=(0+1)2+(n﹣3)2

化简整理得6n=﹣4,解得n=

∴P点坐标为(﹣1,)。

∵顶点D的坐标为(﹣1,4),∴PD=4+=

∵点P的速度为每秒1个单位长度,

∴t4=秒。

综上所述,当t为秒或2秒或3秒或秒时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形。

 

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精英家教网如图1,已知直线:y=
3
3
x+
3
与直角坐标系xOy的x轴交于点A,与y轴交于点B,点M为x轴正半轴上一点,以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于B点,交x轴于C、D两点,与y轴交于另一点E.
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(2)如图2,连接BM延长交⊙M于F,点N为
CF
上任一点,连DN交BF于Q,连FN并延长交x轴于点P.则CP与MQ有何数量关系?证明你的结论;
(3)如图3,连接BM延长交⊙M于F,点N为
CF
上一动点,NH⊥x轴于H,NG⊥BF于G,连接GH,当N点运动时,下列两个结论:①NG+NH为定值;②GH的长度不变;其中只有一个是正确的,请你选择正确的结论加以证明,并求出其值?精英家教网

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43
x+4
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(2)设点C、D的运动时间是t秒(t>0).
①用含t的代数式分别表示线段AD和AC的长度;
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如图1,已知直线y=kx与抛物线y=-
4
27
x2+
22
3
交于点A(3,6).
(1)求k的值;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;
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根据题意,解答问题:

(1)如图1,已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,求线段AB的长.
(2)如图2,类比(1)的解题过程,请你通过构造直角三角形的方法,求出点M(3,4)与点N(-2,-1)之间的距离.
(3)在(2)的基础上,若有一点D在x轴上运动,当满足DM=DN时,请求出此时点D的坐标.

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完成下面证明:

(1)如图1,已知直线b∥c,a⊥c,求证:a⊥b
证明:∵a⊥c  (已知)
∴∠1=
∠2
∠2
(垂直定义)
∵b∥c (已知)
∴∠1=∠2  (
两直线平行,同位角相等
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∴∠2=∠1=90° (
等量代换
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∴a⊥b      (
垂直的定义
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(2)如图2:AB∥CD,∠B+∠D=180°,求证:CB∥DE
证明:∵AB∥CD (已知)
∴∠B=
∠C
∠C
两直线平行,内错角相等
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∵∠B+∠D=180° (已知)
∴∠C+∠D=180° (
等量代换
等量代换

∴CB∥DE   (
同旁内角互补,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行

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