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10.如图:中铁十八局在2015年修通延安至延川高速公路中,要在途经安塞境内的某座山上打一个涵洞,某施工人员在山的周围取了四个点A、B、C、D,使AB⊥BC,又测得∠DAB=120°,DA=3km,DC=7km,BC=3$\sqrt{3}$km,根据你已学过的解三角形知识试求:涵洞DB的长.

分析 先构造出直角三角形,先求出DF,AF,进而求出BE,得出CE,利用勾股定理求出DE,最后再用勾股定理求出BD即可.

解答 解:过点D作DE⊥BC,过点A作AF⊥DE,
则四边形ABEF是矩形,
∴BE=AF,EF=AB,∠BAF=90°,
∵∠BAD=120°,
∴∠DAF=30°,
在Rt△ADF中,AD=3,∠DAF=30°,
∴DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3}{2}$,AF=$\sqrt{3}$DF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∴BE=AF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∵BC=3$\sqrt{3}$,
∴CE=BC-BE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
在Rt△DCE中,DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{13}{2}$,
在Rt△BDE中,BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=7,
∴涵洞DB的长为7km.

点评 此题是直角三角形的应用,主要考查了不规则图形分割成特殊的几何图形,勾股定理,含30°角的直角三角形的性质,解本题的关键是不规则几何图形的分割,也是解本题的难点.

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