Question

本题为选做题，从甲、乙两题中选做一题即可，如果两题都做，只以甲题计分．
甲题：关于x的一元二次方程x²+（2k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根α、β．
（1）求k的取值范围；
（2）若α+β+αβ=6，求（α-β）²+3αβ-5的值．
乙题：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=

1

4

DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

Answer 1

分析：甲题：（1）若方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b²-4ac＞0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．
（2）利用根与系数的关系，用含有k是式子表达出两根和、两根积，代入所给方程，即可确定k的值，进而求出所求代数式的值．
乙题：（1）由于ABCD为正方形，所以AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，所以AE=ED，所以

AE

AB

=

1

2

，又因为DF=

1

4

DC，所以

DF

DE

=

1

2

，所以

AE

AB

=

DF

DE

，所以△ABE∽△DEF．
（2）由于ABCD为正方形，所以ED∥BG，所以

ED

CG

=

DF

CF

，又因为DF=

1

4

DC，正方形的边长为4，所以ED=2，CG=6，所以BG=BC+CG=10．

解答：甲题：
解：（1）∵方程x²+（2k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（2K-3）²-4×1×K²＞0，
解得：k＜

3

4

；
（2）由根与系数的关系得：α+β=-（2k-3），αβ=k²，
∵α+β+αβ=6，
∴k²-2k+3-6=0，
解得k=3或k=-1，
由（1）可知：k=3不合题意，舍去．
∴k=-1，
∴α+β=5，αβ=1
故（α-β）²+3αβ-5=（α+β）²-αβ-5=19．

乙题：
（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴

AE

AB

=

1

2

，
又∵DF=

1

4

DC，
∴

DF

DE

=

1

2

，
∴

AE

AB

=

DF

DE

，
∴△ABE∽△DEF．
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，∴

ED

CG

=

DF

CF

，
又∵DF=

1

4

DC正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
BG=BC+CG=10．

点评：甲题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
乙题主要考查根据相似三角形的判定定理判定三角形相似．