Question

如图，在直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，0），将线段OP按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP的2倍，得到线段OP₁；又将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂；如此下去，得到线段OP₃，OP₄，OP_n（n为正整数），则点P₆的坐标是    ；△P₅OP₆的面积是    ．

Answer 1

【答案】分析：解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心原点，旋转方向逆时针，旋转角度．
解答：解：过P₅作P₅N⊥轴于N，P₅M⊥y轴于M，
∵线段OP按逆时针方向每次旋转45°，
∴旋转6次是45°×6=270°，
∴P₆在y轴的负半轴，OP₅=2⁵，OP₆=2^6，
由勾股定理得：ON=P₅N=16=P₅M，
∴P₅（-16，-16），P₆（0，-64），
∴△P₅OP₆的面积是OP₆×P₅M=×64×16=512．
点评：本题将一个图形的旋转放在坐标系中来考查，是一道考查数与形结合的好试题，也为高中后续学习做了良好的铺垫．从考试情况看，还有非常多考生没完全理解旋转的三大要素即中心、方向、角度，故失分的较多．本题综合考查学生旋转和坐标知识．