Question

2．如图，E是正方形ABCD内一点，E到点A、D、B的距离EA、ED、EB分别为1、3$\sqrt{2}$、2$\sqrt{5}$，延长AE交CD于点F，则四边形BCFE的面积为$\frac{109}{8}$．

Answer 1

分析 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，作DN⊥AF垂足为N，先证明△BME是直角三角形，推出∠AMB=∠AED=135°，在RT△EDN中求出DN，EN，利用△ADN∽△AFD求出AF，NF，最后根据S_{四边形BCFE}=S_{正方形ABCD}-（S_△ABE+S_△AED）-S_△EFD计算即可．

解答 解：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，作DN⊥AF垂足为N，
∵AM=AE=1，∠MAE=90°，
∴ME=$\sqrt{A{M}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵BM²+ME²=（3$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²=20，BE²=（2$\sqrt{5}$）²=20，
∴BM²+ME²=BE²，
∴∠BME=90°，∵∠AME=∠AEM=45°，
∴AMB=∠AED=135°，
在RT△DEN中，∵DE=3$\sqrt{2}$，∠DEN=45°，
∴DN=EN=3，AN=4，
∴AD=$\sqrt{A{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠DAN=∠DAF，∠AND=∠ADF=90°，
∴△ADN∽△AFD，
∴$\frac{AD}{AF}$=$\frac{AN}{AD}$，
∴$\frac{5}{AF}$=$\frac{4}{5}$，
∴AF=$\frac{25}{4}$，NF=$\frac{9}{4}$，
∵S_△ABE+S_△ADE=S_△ABM+S_△ABE=S_△AME+S_△BME=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$3\sqrt{2}$=$\frac{7}{2}$，
S_△EDF=$\frac{1}{2}$×（3+$\frac{9}{4}$）×3=$\frac{63}{8}$，
∴S_{四边形BCFE}=S_{正方形ABCD}-（S_△ABE+S_△AED）-S_△EFD=25-$\frac{7}{2}$-$\frac{63}{8}$=$\frac{109}{8}$．
故答案为$\frac{109}{8}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形、学会利用分割法解决问题，属于中考填空题中的压轴题．