Question

如图（a），点F、G、H、E分别从正方形ABCD的顶点B、C、D、A同时出发，以1cm/s的速度沿着正方形的边向C、D、A、B运动．若设运动时间为x（s），问：
（1）四边形EFGH是什么图形？证明你的结论；
（2）若正方形ABCD的边长为2cm，四边形EFGH的面积为y（cm²），求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
（3）若改变点的连接方式（如图（b）），其余不变．则当动点出发几秒时，图中空白部分的面积为3cm²．

Answer 1

分析：（1）用全等或利用勾股定理计算都可得到HE=EF=FG=GH，说明∠G=90°，得四边形EFGH是正方形；
（2）设运动时间为x（s），则直角△AHE中，AH=x，AE=2-x．根据勾股定理即可求得HE的长，再根据正方形的面积公式即可求解；
（3）空白部分的面积=4x-4+

4(x-2)2

x2+4

，即可得到一个关于x的方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）（本小题共4分）
∵正方形ABCD中AB=BC，而∠A=∠B=90°
又∵AH=BE
∴AE=BF
∴△AEH≌△BFE
∴HE=EF，∠HEA=∠EFB
而∠HEA+∠AHE=90°
∴∠HEA+∠FEB=90°
∴∠HEF=90°
同理：HE=EF=FG=GH
∴四边形EFGH是正方形．

（2）（本小题共5分）
y=22-4×

1

2

x(2-x)（3）（3分）
=2x²-4x+4（0＜x＜2）（（1分），自变量取值范围（1分），共2分）

（3）（本小题共3分）空白部分的面积=4x-4+

4(x-2)2

x2+4

（2分），
方程为：4x-4+

4(x-2)2

x2+4

=3（到此就可得1分），
化简得：4x³-3x²-12=0，
由计算器估算得x≈1.74
所以当动点出发约1.74秒时，图中空白部分的面积为3cm²．（直接给出结果给1分）

点评：本题主要考查了三角形全等的判定，以及一些不规则图形的面积的求解方法，可以转化为一些规则图形的面积的和或差求解．