(2012•西湖区一模)如图.在平面直角坐标系中.点A.B坐标分别为.点C.D在x轴上.C.过点D作x轴的垂线交线段AB于点E.交OA于点G.连接CE交OA于点F(1)请用含t的代数式表示线段AE与EF的长,(2)若当△EFG的面积为125时.点G恰在y=kx的图象上.求k的值,与点R.其中点R在(2)中的y=kx的图象上.以A.C.Q.R为顶点的四边形是平行四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2012•西湖区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），点C，

D在x轴上，C（t，0），D（t+3，0）（0＜t≤5），过点D作x轴的垂线交线段AB于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F
（1）请用含t的代数式表示线段AE与EF的长；
（2）若当△EFG的面积为

时，点G恰在y=

的图象上，求k的值；
（3）若存在点Q（0，2t）与点R，其中点R在（2）中的y=

的图象上，以A，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形，求R点的坐标．

分析：（1）判断出四边形BODE是矩形，根据矩形的对边相等可得BE、DE的长度，再根据点A、点D的坐标求出AB、BE的长度，然后根据AE=AB-BE，计算即可求出AE，求出CD的长度，然后利用勾股定理求出CE的长度，再根据△OCF和△AEF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EF与FC的比值，即可得解；
（2）求出直线OA的解析式，然后求出GD的长度，从而可得EG的长度，过点F作FH⊥GD于点H，根据∠CED的正弦值求出FH的长度，再利用△EFG的面积列式求出t的值，即可得到点D的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答即可；
（3）当AC为平行四边形的对角线时，根据中点公式求出平行四边形的中心坐标，再根据中心与点Q的坐标求出点R的坐标，然后根据点R在反比例函数图象上，把点R的坐标代入反比例函数解析式，计算求出t的值，即可得到点R的坐标，当CQ、AQ为平行四边形的对角线时，同理求解即可．

解答：解：（1）∵点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），DE⊥x轴，
∴四边形BODE是矩形，
∴BE=OD，DE=OB，
又点A（8，4），B（0，4），D（t+3，0），
∴AB=8，BE=t+3，DE=4，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t，
又CD=（t+3）-t=3，
根据勾股定理可得CE=

32+42

=5，
∵AB∥CD，∴△OCF∽△AEF，
∴

5-t

，
∴EF=

5-t

5-t+t

×5=5-t；

（2）由点A（8，4）容易求出直线OA的解析式为y=

x，
∵点D（t+3，0），
∴GD=

（t+3），

EG=4-

（t+3）=

（5-t），
过F作FH⊥GD，交GD于点H，
sin∠CED=

，
即

5-t

，
解得FH=

（5-t），
S_△EFG=

EG•FH=

（5-t）×

（5-t）=

（5-t）²=

，
整理得，（5-t）²=16，
解得t₁=1，t₂=9（不合题意，舍去），
∴GD=

（1+3）=2，
故点G（4，2），
把点G坐标代入反比例函数解析式得，

=2，
解得k=8；

（3）①当AC是平行四边形的对角线时，
∵点A（8，4），C（t，0），
∴平行四边形的中心坐标是（

8+t

，2），
∵点Q（0，2t），
∴点R的坐标是（8+t，4-2t），
由（2）可知，反比例函数解析式为y=

，
∵点R在反比例函数图象上，
∴（8+t）（4-2t）=8，
整理得，t²+6t-12=0，
解得t₁=-3-

（舍去），t₂=-3+

，
∵8+t=8+（-3+

）=5+

，4-2t=4-2（-3+

）=10-2

，
∴点R的坐标为（5+

，10-2

），
②当CQ是平行四边形的对角线时，

∵C（t，0），Q（0，2t），
∴平行四边形的中心坐标是（

，t），
∵点A（8，4），
∴点R的坐标是（t-8，2t-4），
∵点R在反比例函数y=

图象上，
∴（t-8）（2t-4）=8，
整理得，t²-10t+12=0，
解得t₁=5+

（舍去），t₂=5-

，
∵t-8=5-

-8=-3-

，2t-4=2（5-

）-4=6-2

，
∴点R的坐标是（-3-

，6-2

）；
③当AQ是平行四边形的对角线时，
∵A（8，4），Q（0，2t），
∴平行四边形的中心坐标是（4，2+t），
∵点C（t，0），
∴点R的坐标是（8-t，4+2t），
∵点R在反比例函数y=

图象上，
∴（8-t）（4+2t）=8，
整理得，t²-6t-12=0，
解得t₁=3-

（舍去），t₂=3+

（舍去），
所以，此时点R不存在，
综上所述，存在点R（5+

，10-2

）或，（-3-

，6-2

），使得以A，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形．

点评：本题值反比例函数综合题型，主要涉及矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的面积，以及待定系数法求函数解析式的思想，平行四边形的对角线互相平分的性质，（3）利用平行四边形的对角线互相平分求出中心的坐标，再根据线段的中点公式求出点R的坐标是解题的关键，注意要分情况讨论．

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