Question

【题目】如图，半圆O的直径AC=2 ，点B为半圆的中点，点D在弦AB上，连结CD，作BF⊥CD于点E，交AC于点F，连结DF，当△BCE和△DEF相似时，BD的长为 ．

Answer 1

【答案】2 ﹣2或 ﹣1
【解析】解：①如图1，

当∠DFE=∠BCE时，
∵∠DEF=∠BEC，
∴△DEF∽△BEC，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°，
∴∠DBE=∠BCE=∠DFE，
∴DB=DF，
∵DE⊥BF，
∴EB=EF，
∴BC=CF，
∵点B为半圆的中点，
∴AB=BC，
∴∠A=45°，
∵∠DBF=∠DFB，∠CBF=∠CFB，∠DBF+∠CBF=90°，
∴∠DFB+∠CFB=90°，
∴∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠A=∠ADF=45°，
∴AF=DF=BD，
在RT 中，∵AC=2 ，
∴AB=BC= AC=2，
∴FC=2，
∴BD=AF=AC﹣FC=2 ﹣2，
②如图2，

当∠FDE=∠BCE时，
∵∠DEF=∠BEC，
∴△DEF∽△CEB，DF∥BC，
∴∠ADF=∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°，
∴∠DBE=∠BCE=∠FDE，
∵∠BDF=∠DBC=90°，∠DBF=∠BCD，
∴△BDF∽△CBD，
∴ ，
∵∠A=45°，∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠A=45°，
∴AD=DF，
设BD=x，由（1）可知：AB=BC=2，AD=DF=2﹣x，
∴ ，整理得：x2+2x﹣4=0，
解得：x=﹣1+ （或﹣1﹣ 舍弃）
∴BD= ﹣1．
所以答案是2 ﹣2或 ﹣1．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆周角定理的相关知识，掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，以及对相似三角形的判定的理解，了解相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）．