Question

2．如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB，AD为BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC≌△CEB；②DF=CD；③∠ADC=∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的为（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①③
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①由条件可知∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°，可得到∠E=∠ADC，再结合条件可证明△ADC≌△CEB；②AD为BC边上的中线，得到BD=CD，得到∠AFB≠90°，求得DF≠CD，③BE=CD=BD，结合条件可证明△BEF≌△BDF，则有∠E=∠BDF=∠ADC，可得结论；④由③可得EF=DF，而DF＞FG，故F不可能为EG中点．

解答 解：∵∠BCA=90°，CG⊥AD，
∴∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°，
∴∠E=∠ADC，
∵BE⊥BC，
∴∠EBC=∠ACD，
在△ADC和△CEB中$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{∠DAC=∠E}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴①正确；
∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵AG⊥CE，
∴∠AFB≠90°，
∴DF≠$\frac{1}{2}$CB，
∴DF≠CD，
∴②不正确；
∵△ADC≌△CEB，且D为BC中点，
∴BE=CD=BD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠DBF=∠EBF=45°，
在△BEF和△BDF中$\left\{\begin{array}{l}{BE=BD}\\{∠DBF=∠EBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$
∴△BEF≌△BDF（SAS），
∴∠E=∠BDF，又∠E=∠ADC，
∴∠ADC=∠BDF，
∴③正确；
∵△BEF≌△BDF，
∴EF=DF，
在R△DFG中，DF＞FG，
∴EF＞FG，
∴F不是EG的中点，
∴④不正确；
综上可知正确的有①③共两个，
故选C．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．