Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=20 cm，BC=10 cm，DC=12 cm，点P和Q同时从A、C出发，点P以4 cm/s的速度沿A-B一C-D运动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）t为何值时，四边形APQD是矩形；
（2）t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）AP=DQ时，四边形APQD是矩形，即4t=12-t，解得，t=（s）．

（2）过Q、C分别作QE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．
∵AB=20cm，BC=10cm，DC=12cm，∴BF=PE=8cm，CF=AD=6cm．
∵AE=DQ，即4t+8=12-t，解得，t=（s）．

（3）∵梯形ABCD的周长和面积分别为：
周长=20+10+12+6=48cm面积==96（cm²）
若当线段PQ平分梯形ABCD周长时，则AP十DQ+AD=×48=24，
即4t+12-t+6=24，解得t=2，
此时，梯形APQD的面积为=54≠×96=48．
∴不存在某一时刻t，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分．
分析：（1）主要考查矩形的性质，即只需AP=DQ即可，
（2）考查等腰梯形的判定，在移动过程中满足两腰相等即可．
（3）可先假设其存在，即题中假设梯形ABCD的周长和面积相等，然后分别求出周长及面积，若得出结果与假设一致，则假设正确，反之，则假设不成立．
点评：熟练掌握矩形以及等腰梯形的性质及判定定理．