Question

 (1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标.

(2) 连结AB，平移AB所在的直线，使其经过原点O，得到直线.点是上一动点,当△的周长最小时，求点P的坐标.

（3）当△的周长最小时，在直线AB的上方是否存在一点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形与△POB相似，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.（规定：点Q的对应顶点不为点O）

 

Answer 1

（1）_，（4，4）(2) （2，-2）(3)存在，点坐标为（8，16）、（20，4）（8,2）、（6,4） 

【解析】（1）∵点B与O（0，0）关于直线x=4对称,

∴点B坐标为（8，0）.

将点B坐标代入得：

64+16=0,

∴=.

∴抛物线解析式为.               2分

当=4时，,

∴顶点A坐标为（4，4）.                  2分

（说明：可用对称轴为,求值,用顶点式求顶点A坐标.）

（2）设直线AB解析式为y=kx+b.

∵A(4,4),B(8,0),

∴ 解得,   ∴.-

∵直线∥AB且过点O,

∴直线解析式为.

A关于直线的对称点是A₁（-4，-4），连接A₁B，则直线A₁B的函数关系式是

由  得交点P（2，-2）                         4分

 (3)存在，点坐标为（8，16）、（20，4）（8,2）、（6,4）         4分

主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大