Question

11．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，sin∠B=$\frac{3}{5}$，AB=10，点D以每秒5个单位长度的速度从点B处沿沿射线BC方向运动，点F以相同的速度从点A出发沿边AB向点B运动，当F运动至点B时，点D、E同时停止运动，设点D运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式分别表示线段BD和BF的长度．则BD=5t，BF=10-5t．
（2）设△BDF的面积为S，求S关于t的函数表达式及S的最大值．
（3）如图2，以DF为对角线作正方形DEFG．
①在运动过程中，是否存在正方形DEFG的一边恰好落在Rt△ABC的一边上，若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
②设DF的中点为P，当点F从点A 运动至点B时，请直接写出点P走过的路程．

Answer 1

分析 （1）由题意BD=5t，BF=10-5t；
（2）如图1中，作FM⊥BC于M．由FM∥AC，可得$\frac{FM}{AC}$=$\frac{BF}{BA}$，推出$\frac{FM}{6}$=$\frac{10-5t}{10}$，推出FM=$\frac{3}{5}$（10-5t）=6-3t，可得S=$\frac{1}{2}$•BD•FM，由此即可解决问题；
（3）①分三种情形在图2～图5中，分别列方程求解即可；
②如图6中，当点F与B重合时，点D在点K处，易知点P的运动轨迹是△ABK的中位线MN，求出AK即可解决问题；

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=10，tanB=$\frac{3}{4}$，
∴AC=6，BC=8．
由题意BD=5t，BF=10-5t，
故答案为5t，10-5t．

（2）如图1中，作FM⊥BC于M．

∵FM∥AC，
∴$\frac{FM}{AC}$=$\frac{BF}{BA}$，
∴$\frac{FM}{6}$=$\frac{10-5t}{10}$，
∴FM=$\frac{3}{5}$（10-5t）=6-3t，
∴S=$\frac{1}{2}$•BD•FM=$\frac{1}{2}$•5t•（6-3t）=-$\frac{15}{2}$t²+15t．

（3）①如图2中，当DE在BC边上时，作FM⊥AC于M．

易知FM=EC=4t，AM=3t，CM=EF=DE=6-3t，
∵BD+DE+EC=8，
∴5t+6-3t+4t=8，
∴t=$\frac{1}{3}$s．
如图3中，当FG在AB边上时，

易知DG=FG=3t，BG=4t，
∵BG+FG+AF=10，
∴4t+3t+5t=10，
∴t=$\frac{5}{6}$s．
如图4中，当DG在BC边上上时，

易知FG=DG=6-3t，BG=8-4t，
∵BD=BG+DG=5t，
∴8-4t+6-3t=5t，
∴t=$\frac{7}{6}$S．
如图5中，当EF在边AB上时，

易知BE=4t，DE=EF=3t，
∵BE-EF=BF，
∴4t-3t=10-5t，
∴t=$\frac{5}{3}$s．
综上所述，t=$\frac{1}{3}$s或$\frac{5}{6}$s或$\frac{7}{6}$s或$\frac{5}{3}$s时，正方形DEFG的一边恰好落在Rt△ABC的一边上．

②如图6中，当点F与B重合时，点D在点K处．

易知点P的运动轨迹是△ABK的中位线MN．
在Rt△ACK中，AK=$\sqrt{A{C}^{2}+C{K}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．