Question

如图，在等腰梯形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别为BM、CM的中点．   
（1）求证：△ABM≌△CDM；
（2）?①判断并证明四边形MENF是何种特殊的四边形；
?②当等腰梯形ABCD的高h与底边BC满足怎样的数量关系时，四边形MENF是正方形？（直接写出结论，不需要证明）．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定,正方形的判定

专题：

分析：（1）根据等腰梯形的性质可得AB=CD，∠A=∠D，再由点M是AD的中点，可得AM=DM，继而利用SAS可证明全等；
（2）①利用三角形中位线定理，可判断四边形MENF是菱形；
②四边形MENF是正方形，则∠BCM为直角，根据等腰直角三角形的中线的性质，可得高h与底边BC的关系．

解答：解：（1）∵ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D，
又∵M为AD的中点，
∴MA=MD，
在△ABM和△DCM中，

AM=DM ∠A=∠D AB=DC

∴△AMB≌△DMC．

（2）?①判断四边形MENF为菱形．
由（1）得△AMB≌△DMC，
∴BM=CM；
又∵E、F、N分别为BM、CM、BC中点，
∴MC=2MF=2NE，BM=2ME=2NF，（或MF∥NE，ME∥NF；）
∴EM=NF=MF=NE，
∴四边形MENF为菱形．
?当BC=2h或BC=2MN时，MENF为正方形．

点评：本题考查了等腰梯形性质、三角形的中位线定理，菱形正方形的判定，解答本题的涉及知识较多，但相对比较基础，难度一般．