Question

7．[问题情境]如图，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P式y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称轴为P′，过P′作x轴的平行线交抛物线于B，D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点，求$\frac{CA}{CB}$的值．
[特殊探究]填空：
当P点坐标为（0，1）时，$\frac{CA}{CB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当P点坐标为（0，2）时，$\frac{CA}{CB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
[归纳证明]
若P点坐标为（0，m）时（m）为任意正实数，猜想$\frac{CA}{CB}$的值，并证明你的猜想．
[拓展应用]
以CB，BD为邻边作?DBCE，直接写出△OAC的面积与?DBCE的面积的比值．

Answer 1

分析 特殊探究：根据关于x轴对称，可得P′点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据待定系数法，可得BA的解析式，根据相似三角形的性质，可得答案；
归纳：根据关于x轴对称，可得P′点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据待定系数法，可得BA的解析式，根据相似三角形的性质，可得答案；
拓展：根据相似三家形的性质，可得△OAC的面积与△CP′B的面积的比值，根据平行四边形的面积与△CP′B的面积，可得S_△CP′B：S_{平行四边形DBCE}=1：4，根据等量代换，可得答案．

解答 解：特殊探究：当P点坐标为（0，1）时，抛物线的解析式为y=-x²+1，
P点关于x轴的对称轴为P′，得P′（0，-1）．
当y=-1时，x=$\sqrt{2}$，x=-$\sqrt{2}$，即B（$\sqrt{2}$，-1）．
设BA的解析式为y=kx+b，将B、A点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{\sqrt{2}k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{2}-1}\\{b=\sqrt{2}+1}\end{array}\right.$，
C点的坐标为（0，$\sqrt{2}$+1）．
CP′=$\sqrt{2}$+2，OC=$\sqrt{2}$+1．
由相似三角形的性质，得
$\frac{CA}{CB}$=$\frac{OC}{CP′}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当P点坐标为（0，2）时，抛物线的解析式为y=-2x²+2，
P点关于x轴的对称轴为P′，得P′（0，-2）．
当y=-2时，x=$\sqrt{2}$，x=-$\sqrt{2}$，即B（$\sqrt{2}$，-2）．
设BA的解析式为y=kx+b，将B、A点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{\sqrt{2}k+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2\sqrt{2}-2}\\{b=2\sqrt{2}+2}\end{array}\right.$，
C点的坐标为（0，2$\sqrt{2}$+2）．
CP′=2$\sqrt{2}$+4，OC=2$\sqrt{2}$+2．
由相似三角形的性质，得
$\frac{CA}{CB}$=$\frac{OC}{CP′}$=$\frac{2\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2}+4}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
归纳证明：$\frac{CA}{CB}$的值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，理由如下：
当P点坐标为（0，m）时，抛物线的解析式为y=-mx²+m，
P点关于x轴的对称轴为P′，得P′（0，-m）．
当y=-m时，x=$\sqrt{2}$，x=-$\sqrt{2}$，即B（$\sqrt{2}$，-m）．
设BA的解析式为y=kx+b，将B、A点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{\sqrt{2}k+b=-m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-（\sqrt{2}+1）m}\\{b=（\sqrt{2}+1）m}\end{array}\right.$，
C点的坐标为（0，$\sqrt{2}$m+m）．
CP′=$\sqrt{2}$m+2m，OC=$\sqrt{2}$m+m．
由相似三角形的性质，得
$\frac{CA}{CB}$=$\frac{OC}{CP′}$=$\frac{\sqrt{2}m+m}{\sqrt{2}m+2m}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
拓展应用：
$\frac{{S}_{△COA}}{{S}_{△CP′B}}$=（$\frac{CA}{CB}$）²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{1}{2}$；
S_△CP′B：S_{平行四边形DBCE}=（$\frac{1}{2}$P′B•CP′）：（DB•CP′）=1：4．
$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{平行四边形DBCE}}$=$\frac{{S}_{△AOC}}{{4}_{△CP′B}}$=$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系得出B点坐标，利用相似三角形的性质得出$\frac{CA}{CB}$=$\frac{OC}{CP′}$是解题关键，注意要分母有理化．