Question

（1）填空：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，过点D作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为________．
（2）如图，若将（1）中条件“Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°”改为“△ABC中，∠C=2∠B”请问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的猜想．

Answer 1

解：（1）∵∠C=∠AED=90°，AD是△ABC的角平分线，
∴CD=DE；
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；
又∵∠B=45°，
∴∠DEB=45°（直角三角形的两个锐角互余），
∴DE=EB（等角对等边），
∴AB=AE+EB=AC+CD，即AB=AC+CD；

（2）（1）中的结论仍然成立．
理由如下：
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴将△CAB沿AD折叠，点C落在AB边上的C′处，
∴△ACD≌△AC′D，
∴AC=AC′，CD=C′D，∠C=∠1=2∠B；
又∵∠1=∠2+∠B，
∴∠2=∠B，
∴C′D=C′B，
∴AB=AC′+BC′=AC+CD，即AB=AC+CD．
分析：（1）根据角平分线的性质以及全等三角形的判定定理HL知Rt△ACD≌Rt△AED；然后由全等三角形的对应边相等、等腰三角形的两腰相等的性质推知AB=AE+EB=AC+CD，即AB=AC+CD；
（2）根据折叠的性质，将△CAB沿AD折叠，点C落在AB边上的C′处，所以△ACD≌△AC′D；然后根据全等三角形的对应边、对应角相等的性质推知AC=AC′，CD=C′D，∠C=∠1=2∠B；最后由外角定理以及等腰三角形的性质可以推知（1）的结论仍然成立．
点评：本题综合考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质．解答（1）时，由已知能够注意到点D到AC的距离与到AB的距离相等是证明△DEB的关键．