Question

2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点A，B分别落在坐标轴上，O为原点，点A的坐标为（-12，0），点B坐标为（0，16），动点M从点O出发．沿OA向中点A以每秒2个单位的速度运动，同时动点N从A出发，沿AB向中点B以每秒$\frac{10}{3}$个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=3秒时，直接写出点M的坐标，并求出经过A、M、B三点的抛物线的解析式；
（2）在此运动的过程中，△MNA为直角三角形的情况？若存在，请求出t的值．若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根据路程=时间×速度可求出OM的长度，从而得出点M的坐标，设此时经过A、M、B三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，由A、M、B三点的坐标利用待定系数法即可求出经过A、M、B三点的抛物线的解析式；
（2）假设存在，由∠A不为直角可知，△MNA为直角三角形只有两种情况，分别考虑∠AMN或∠ANM为90°的情况，利用相似三角形的性质可得出比例关系，由此得出关于时间t的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）过点N作NE⊥x轴于点E，通过相似三角形的性质找出点N的坐标，由两点间的距离公式找出线段AN、AM、MN的长度，结合等腰三角形的性质分三种情况考虑，根据线段相等得出关于时间t的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）当t=3时，OM=2×3=6，
∴点M的坐标为（-6，0）．
设此时经过A、M、B三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
将A（-12，0）、B（0，16）、M（-6，0）代入到抛物线解析式中得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=144a-12b+c}\\{16=c}\\{0=36a-6b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{9}}\\{b=4}\\{c=16}\end{array}\right.$．
∴当t=3秒时，点M的坐标为（-6，0），此时经过A、M、B三点的抛物线的解析式为y=$\frac{2}{9}{x}^{2}$+4x+16．
（2）假设存在．
当运动时间为t时，OM=2t，AN=$\frac{10}{3}$t，AM=AO-OM=12-2t．
在Rt△ABO中，AO=12，BO=16，∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=20．
20÷$\frac{10}{3}$=6（秒）；
12÷2=6（秒）．
∴0≤t≤6．
△MNA为直角三角形分两种情况：
①∠AMN=90°时，∠AMN=∠AOB=90°，∠A=∠A，
∴△AMN∽△AOB，
∴$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AO}$，即40t=240-40t，
解得：t=3；
②∠ANM=90°时，∠ANM=∠AOB=90°，∠A=∠A，
∴△ANM∽△AOB，
∴$\frac{AN}{AO}=\frac{AM}{AB}$，即$\frac{50}{3}$t=36-6t，
解得：t=$\frac{27}{17}$．
故在此运动的过程中，当t的值为3或$\frac{27}{17}$时，△MNA为直角三角形．
（3）过点N作NE⊥x轴于点E，如图所示．

∵NE⊥x轴，BO⊥x轴，
∴NE∥BO，
∴△ANE∽△ABO，
∴$\frac{NE}{BO}=\frac{AE}{AO}$=$\frac{AN}{AB}$，
又∵AN=$\frac{10}{3}$t，
∴NE=$\frac{BO•AN}{AB}$=$\frac{8}{3}$t，AE=$\frac{AO•AN}{AB}$=2t，OE=AO-AE=12-2t，
∴点N的坐标为（2t-12，$\frac{8}{3}$t）．
又∵点A（-12，0），点M（-2t，0），
∴AN=$\frac{10}{3}$t，AM=12-2t，MN=$\sqrt{[2t-12-（-2t）]^{2}+（\frac{8}{3}t）^{2}}$．
△MNA是一个等腰三角形分三种情况：
①AN=AM，即$\frac{10}{3}$t=12-2t，
解得：t=$\frac{9}{4}$；
②AN=MN，即$\frac{10}{3}$t=$\sqrt{[2t-12-（-2t）]^{2}+（\frac{8}{3}t）^{2}}$，
解得：t=2，或t=6，
当t=6时，A、M点重合，不成三角形，
∴t=2．
③AM=MN，即12-2t=$\sqrt{[2t-12-（-2t）]^{2}+（\frac{8}{3}t）^{2}}$，
解得：t=0，或t=$\frac{108}{43}$，
当t=0时，A、N点重合，不成三角形，
∴t=$\frac{108}{43}$．
综上可知：当t为2、$\frac{9}{4}$或$\frac{108}{43}$秒时，△MNA是一个等腰三角形．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质、解直角三角形、解一元一次（一元二次）方程以及等腰三角形的性质，解题的关键：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）找出关于时间t的一元一次方程；（3）找出关于时间t的一元二次方程组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质（等腰三角形的性质）得出关于时间t的方程是关键．