Question

【题目】某中学八年级学生在学习等腰三角形的相关知识时时，经历了以下学习过程：

（1）（探究发现）如图1，在中，若平分，时，可以得出，为中点，请用所学知识证明此结论．

（2）（学以致用）如果和等腰有一个公共的顶点，如图2，若顶点与顶点也重合，且，试探究线段和的数量关系，并证明．

（3）（拓展应用）如图3，在（2）的前提下，若顶点与顶点不重合，，（2）中的结论还成立吗？证明你的结论

Answer 1

【答案】（1）详见详解；（2）DF＝2BE，证明详见详解；（3）DF＝2BE，证明详见详解

【解析】

（1）只要证明△ADB≌△ADC（ASA）即可；

（2）如图2中，延长BE交CA的延长线于K，只要证明△BAK≌△CAD（ASA）即可；

（3）作FK∥CA交BE的延长线于K，交AB于J，利用（2）中的结论证明即可．

解：（1）如图1中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵DA平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，

∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADC（ASA），

∴AB＝AC，BD＝DC．

（2）结论：DF＝2BE．

理由：如图2中，延长BE交CA的延长线于K．

∵CE平分∠BCK，CE⊥BK，

∴由（1）中结论可知：CB＝CK，BE＝KE，

∵∠BAK＝∠CAD＝∠CEK＝90°，

∴∠ABK+∠K＝90°，∠ACE+∠K＝90°，

∴∠ABK＝∠ACD，∵AB＝AC，

∴△BAK≌△CAD（ASA），CD＝BK，

∴CD＝2BE，

即DF＝2BE．

（3）如图3中，结论不变：DF＝2BE．

理由：作FK∥CA交BE的延长线于K，交AB于J．

∵FK∥AC，∴∠FJB＝∠A＝90°，∠BFK＝∠BCA，

由（2）可知Rt△ABC为等腰三角形

∵∠JBF＝45°，

∴△BJF是等腰直角三角形，

∵∠BFE＝∠ACB，∴∠BFE＝∠BFJ，

由（2）可知：DF＝2BE．