Question

如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=BD．
（1）求证：△ABC∽△DBA；
（2）若BD=3

2

，AB=2

6

，求BC的长；
（3）若

AD

BC

=

1

3

，求tanC的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明∠B=∠C，∠B=∠BAD，即可解决问题．
（2）由△ABC∽△DBA，得到AB：BD=BC：AB，根据BD=3

2

，AB=2

6

，求出BC即可解决问题．
（3）如图，作辅助线；设BD=AD=λ，得到BC=3λ，BE=EC=1.5λ，DE=0.5λ；求出AE即可解决问题．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD=BD
∴∠B=∠C，∠B=∠BAD，
∴△ABC∽△DBA．
（2）∵△ABC∽△DBA，
∴AB：BD=BC：AB，而BD=3

2

，AB=2

6

，
∴BC=4

2

．
（3）如图，过点A作AE⊥BC；
则BE=CE；而

AD

BC

=

1

3

，BD=AD，
∴设BD=AD=λ，则BC=3λ，BE=EC=1.5λ，DE=0.5λ；
由勾股定理得：AE²=AD²-DE²，
解得：AE=

3

2

λ，
∴tanC=

AE

EC

=

3

3

，
即tanC的值为

3

3

．

点评：该题以三角形为载体，以考查相似三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；牢固掌握定理是灵活运用的基础和关键．