分析 (1)首先求出AD、AB,根据sin∠OAD=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$推出∠DAO=60°,作BE⊥x轴于点E,在RT△ABE中,即可解决问题.
(2)利用待定系数法设直线AB为y=kx+b,把A、B坐标代入即可解决问题.
(3)分四种情形,利用相似三角形的性质求出AM的长,即可求出点M坐标.
解答 (1)解:作BE⊥x轴于点E,
解方程x2-11x+24=0得x1=3,x2=8.
∵AD>AB
∴AD=8,AB=3,
∵sin∠OAD=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∴∠OAD=60°,
∴∠BAE=30°,
OA=AD×cos60°=4,
∴AE=AB×cos30°=3×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$,
BE=AB×sin30°=$\frac{3}{2}$,
∴B点的坐标为($4+\frac{{3\sqrt{3}}}{2},\frac{3}{2}$).
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0).
则$\left\{\begin{array}{l}0=4k+b\\ \frac{3}{2}=(4+\frac{{3\sqrt{3}}}{2})k+b\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ b=-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$
∴直线AB的解析式为y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
(3)存在,如图,①当△BCM1∽△ODA时,$\frac{BC}{OD}$=$\frac{B{M}_{1}}{OA}$,
∴$\frac{8}{4\sqrt{3}}$=$\frac{B{M}_{1}}{4}$,
∴BM1=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$,
∴AM1=3+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$,作M1H⊥OA于H,
∵∠M1AH=30°,
∴HM1=$\frac{3}{2}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,AH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+4,OH=8+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∴点M1(8+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$),
②当△CBM2∽△AOD时,$\frac{BC}{AO}$=$\frac{B{M}_{2}}{OD}$,∴$\frac{8}{4}$=$\frac{B{M}_{2}}{4\sqrt{3}}$,
∴BM2=8$\sqrt{3}$,
∴AM2=3+8$\sqrt{3}$,
∴M2坐标为(16+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$+4$\sqrt{3}$),
根据对称性得到M3(-8+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$-4$\sqrt{3}$),M4($\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$).
点评 本题考查相似三角形综合题、三角函数、相似三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,综合性比较强,属于中考压轴题.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 10 | B. | 12 | C. | 15 | D. | 20 |
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com