【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,A、B两点的坐标分别为(﹣1,0)、(0,﹣3).
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)点E为抛物线的顶点,点C为抛物线与x轴的另一交点,点D为y轴上一点,且DC=DE,求出点D的坐标.
(3)在第二问的条件下,射线DE上是否存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)(0,﹣1);(3)满足条件的点P共有2个,其坐标分别为(,﹣2)、(3,﹣10).
【解析】
试题(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解方程组求出b、c的值,即可得解;
(2)令y=0,利用抛物线解析式求出点C的坐标,设点D的坐标为(0,m),作EF⊥y轴于点F,利用勾股定理列式表示出DC2与DE2,然后解方程求出m的值,即可得到点D的坐标;
(3)根据点C、D、E的坐标判定△COD和△DFE全等,根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠DCO,然后求出CD⊥DE,再利用勾股定理求出CD的长度,然后①分OC与CD是对应边;②OC与DP是对应边;根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度,过点P作PG⊥y轴于点G,分别求出DG、PG的长度,结合平面直角坐标系即可写出点P的坐标.
试题解析:
(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(0,﹣3),
∴ ,
解得,
故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)令x2﹣2x﹣3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
则点C的坐标为(3,0),
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴点E坐标为(1,﹣4),
设点D的坐标为(0,m),
∵DC2=OD2+OC2=m2+32,DE2=DF2+EF2=(m+4)2+12,
∵DC=DE,
∴m2+9=m2+8m+16+1,
解得m=﹣1,
∴点D的坐标为(0,﹣1);
(3)作EF⊥y轴于F.
∵点C(3,0),D(0,﹣1),E(1,﹣4),
∴CO=DF=3,DO=EF=1,
根据勾股定理,CD=,
在△COD和△DFE中,
∵ ,
∴△COD≌△DFE(SAS),
∴∠EDF=∠DCO,
又∵∠DCO+∠CDO=90°,
∴∠EDF+∠CDO=90°,
∴∠CDE=180°﹣90°=90°,
∴CD⊥DE,
①分OC与CD是对应边时,
∵△DOC∽△PDC,
∴ ,
即,
解得DP=,
过点P作PG⊥y轴于点G,
则 ,
即 ,
解得DG=1,PG=,
OG=DO+DG=1+1=2,
所以,点P(,﹣2);
②OC与DP是对应边时,
∵△DOC∽△CDP,
∴ ,
即 ,
解得DP=3,
过点P作PG⊥y轴于点G,
则,
即 ,
解得DG=9,PG=3,
OG=OD+DG=1+9=10,
所以,点P的坐标是(3,﹣10),
综上所述,满足条件的点P共有2个,其坐标分别为(,﹣2)、(3,﹣10).
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【题目】为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式,调查小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项,用随机抽样的方法调查了该市部分市民,并根据调查结果绘制成如下统计图.
根据统计图所提供的信息,解答下列问题:
(1)本次共调查了 名市民;
(2)补全条形统计图;
(3)该市共有480万市民,估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数.
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【题目】我们知道,假分数可以化为带分数.例如:.在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”,当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.例如:,这样的分式就是假分式;,这样的分式就是真分式.类似的,假分式也可以化为带分式(即整式与真分式和的形式).
例如:①;
②.
(1)将分式化为带分式;
(2)若分式的值为整数,求的整数值;
(3)在代数式中,若,均为整数,请写出所有可能的取值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线的解析式为,直线的解析式为,与轴,轴分别交于点,点,直线与交于点.
(1)求点,点,点的坐标,并求出的面积;
(2)若直线 上存在点(不与重合),满足,请求出点的坐标;
(3)在轴右侧有一动直线平行于轴,分别与,交于点,且点在点的下方,轴上是否存在点,使为等腰直角三角形?若存在,请直接写出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,将一个边长为的正方形图形分割成四部分(两个正方形和两个长方形),请认真观察图形,解答下列问题:
(1)根据图中条件,请用两种方法表示该图形的总面积(用含的代数式表示出来);
(2)如果图中的满足求的值;
(3)已知,求的值.
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【题目】某水果批发商场销售一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下.若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.
(1)现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
(2)每千克水果涨价多少元时,商场每天获得的利润最大?获得的最大利润是多少元?
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【题目】如图,一次函数y=2x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.
(1)求点A,B的坐标;
(2)求当x=-2时,y的值,当y=10时,x的值;
(3)过点B作直线BP与x轴相交于点P,且使OP=2OA,求△ABP的面积.
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC =3,BC =4,AB=5,BD平分∠ABC,如果M、N分别为BD、BC上的动点,那么CM+MN的最小值是____.
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【题目】已知,在中,,,,垂足为点,且,连接.
(1)如图①,求证:是等边三角形;
(2)如图①,若点、分别为,上的点,且,求证:;
(3)利用(1)(2)中的结论,思考并解答:如图②,为上一点,连结,当时,线段,,之间有何数量关系,给出证明.
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