已知?ABCD.∠A=30°.AD⊥BD于点D.且AB=6.点P是射线BA上一动点.过点P作PE⊥BD.交BD所在直线于点E.点Q是射线CD上一动点.且CQ=2AP.以QD.QE为邻边构造?DFEQ.设BP的长度为m．(1)当点P在边AB上时.①请用含m的代数式表示DE,②当m=3.6时.求证:?DFEQ是菱形,(2)在点P的整个运动过程中.①当m为何值时.?DFEQ为矩形,②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知?ABCD，∠A=30°，AD⊥BD于点D，且AB=6，点P是射线BA上一动点，过点P作PE⊥BD，交BD所在直线于点E，点Q是射线CD上一动点，且CQ=2AP，以QD，QE为邻边构造?DFEQ，设BP的长度为m．
（1）当点P在边AB上时，
①请用含m的代数式表示DE；
②当m=3.6时，求证：?DFEQ是菱形；
（2）在点P的整个运动过程中，
①当m为何值时，?DFEQ为矩形；
②当点F恰好落在?ABCD的边界上，求m的值（直接写出答案）

分析（1）如图1，①根据平行线分线段成比例定理列式，求出DE的长即可；
②先求DQ和DE的长，再求∠BDC=60°，得△EDQ为等边三角形，所以DQ=EQ，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得结论；
（2）①分两种情况进行讨论：如图2，当点P在线段AB上时；如图3，当点P在线段BA的延长线上时；都根据30°角所对的直角边等于斜边的一半列式求出m的值，要注意图3中，因为点P在BA的延长线上，所以AP、DQ、DE的长有所变化，准确表示出来；
②分两种情况：当点F落在BC或AD边上时，利用EF=DQ列式计算即可．

解答解：（1）如图1，①∵BP=m，AB=6，
∴AP=6-m，
∵∠A=30°，∠ADB=90°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3，
∵AD⊥BD，PE⊥BD，
∴AD∥PE，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{DE}{BD}$，
∴$\frac{6-m}{6}=\frac{DE}{3}$，
∴DE=$\frac{6-m}{2}$（0≤m≤6）；
②当m=3.6时，AP=6-3.6=2.4，
∴CQ=2AP=4.8，
∴DQ=CD-CQ=6-4.8=1.2，
由①得：DE=$\frac{6-m}{2}$=$\frac{6-3.6}{2}$=1.2，
∴DQ=DE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD=60°，
∴△EDQ为等边三角形，
∴EQ=DQ，
∴?DFEQ是菱形；
（2）①?DFEQ为矩形时可分为两种情况：
如图2，当点P在线段AB上时，即0≤m≤6时，此时EQ⊥DQ，∠EDQ=60°，
则∠DEQ=30°，
∴DE=2DQ，即$\frac{6-m}{2}$=2[6-2（6-m）]，
解得：m=$\frac{10}{3}$，
如图3，当点P在线段BA的延长线上时，即m＞6时，BP=m，AP=m-6，DQ=2（m-6），
同理得：$\frac{AB}{AP}=\frac{BD}{DE}$，
∴$\frac{6}{6-m}=\frac{3}{DE}$，
∴DE=$\frac{m-6}{2}$，
此时EQ⊥DQ，∠EDQ=∠BDC=60°，
∴∠DEQ=30°，
∴DE=2DQ，即$\frac{m-6}{2}$=2[2（m-6）-6]，
解得：m=$\frac{66}{7}$，
综上所述：当m=$\frac{10}{3}$或$\frac{66}{7}$时，?DFEQ为矩形；
②当点F恰好落在?ABCD的边界上时，有两种情况：
当点F落在BC边上时，如图4，此时EF=PB=DQ，
∴m=2（6-m）-6，
m=2，
当点F落在AD边上时，如图5，此时EF=AP=DQ，
∴6-m=6-2（6-m），
m=4，
综上所述，当点F恰好落在?ABCD的边界上时，m的值为2或4．

点评本题是四边形的综合题，也是旋转变换问题，考查了平行四边形、菱形、矩形的判定和性质；在求m的值时，都是在某一条件下根据边的关系列方程求解，得出结论；本题容易漏解，因此要细心画图，仔细分析．

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