【题目】在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE,连接CE.
(1)如图1,当点P在菱形ABCD内部时,则BP与CE的数量关系是 ,CE与AD的位置关系是 .
(2)如图2,当点P在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图2,连接BE,若AB=2,BE=2,求AP的长.
【答案】(1)BP=CE,CE⊥AD;(2)结论仍然成立,理由见解析;(3)2
【解析】
(1)由菱形ABCD和∠ABC=60°可证△ABC与△ACD是等边三角形,由等边△APE可得AP=AE,∠PAE=∠BAC=60°,减去公共角∠PAC得∠BAP=∠CAE,根据SAS可证得△BAP≌△CAE,故有BP=CE,∠ABP=∠ACE.由菱形对角线平分一组对角可证∠ABP=30°,故∠ACE=30°即CE平分∠ACD,由AC=CD等腰三角形三线合一可得CE⊥AD.
(2)结论不变.证明过程同(1).
(3)在Rt△AOP中,求出OA,OP即可解决问题.
(1)BP=CE,CE⊥AD.
理由:∵菱形ABCD中,∠ABC=60°
∴AB=BC=CD=AD,∠ADC=∠ABC=60°
∴△ABC、△ACD是等边三角形
∴AB=AC,AC=CD,∠BAC=∠ACD=60°
∵△APE是等边三角形
∴AP=AE,∠PAE=60°
∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC
即∠BAP=∠CAE,
∴△BAP≌△CAE(SAS)
∴BP=CE,∠ABP=∠ACE
∵BD平分∠ABC
∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°
∴CE平分∠ACD
∴CE⊥AD.
故答案为BP=CE,CE⊥AD.
(2)结论仍然成立.理由如下:如图,设CE交AD于H,连接AC.
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC,△ACD都是等边三角形,∠ABD=∠CBD=30°.
∵△APE是等边三角形,
∴AB=AC,AP=AE,∠BAC=∠PAE=60°.
∴△BAP≌△CAE.
∴BP=CE,∠ABP=∠ACE=30°.
∵∠CAH=60°,
∴∠CAH+∠ACH=90°.
∴∠AHC=90°,即CE⊥AD.
(3)如图,连接BE,
由(2)可知CE⊥AD,BP= CE.
在菱形ABCD中,AD∥BC,∴CE⊥BC.
∵BC=AB=2,BE=2,
在Rt△BCE中,CE==8.
∴BP=CE=8.
∵AC与BD是菱形的对角线,
∴∠ABD=∠ABC=30°,AC⊥BD.
∴OA=AB=,BO==3,
∴OP=BP-BO=5,
在Rt△AOP中,AP==2,
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【题目】关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2.
(1)求实数k的取值范围.
(2)若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1x2,求k的值.
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【题目】如图①,在△ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边,作∠DEF=∠A,另一边EF交AC于点F.
(1)求证:四边形ADEF为平行四边形;
(2)当点D为AB中点时,判断ADEF的形状;
(3)延长图①中的DE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图②,若AD=AG,判断四边形AEGF的形状,并说明理由.
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【题目】(10分)如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC的中点,以AC为直径的⊙O交AB于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AE:EB=1:2,BC=6,求⊙O的半径.
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【题目】如图,在□ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,DF平分∠ADC交BC于点F.
【1】△ABE≌△CDF
【2】若BD⊥EF,则判断四边形EBFD是什么特殊四边形,请证明你的结论.
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【题目】ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,将△ABC沿AC所在直线翻折至△AB′C,若点B的落点记为B′,连接B′D、B′C,其中B′C与AD相交于点G.
①△AGC是等腰三角形;②△B′ED是等腰三角形;
③△B′GD是等腰三角形;④AC∥B′D;
⑤若∠AEB=45°,BD=2,则DB′的长为;
其中正确的有( )个.
A. 2B. 3C. 4D. 5
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【题目】在同一直角坐标系中,将一次函数y=x﹣3(x>1)的图象,在直线x=2(横坐标为2的所有点构成该直线)的左侧部分沿直线x=2翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新图象.若关于x的函数y=2x+b的图象与此图象有两个公共点,则b的取值范围是( )
A. 8>b>5B. ﹣8<b<﹣5C. ﹣8≤b≤﹣5D. ﹣8<b≤﹣5
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【题目】在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米.
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路?(即问:CH与AB是否垂直?)请通过计算加以说明;
(2)求原来的路线AC的长.
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