试题分析:(1)根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系,利用待定系数法求出抛物线的函数表达式。
(2)由∠BDA=∠DAC,可知BD∥x轴,点B与点D纵坐标相同,解一元二次方程求出点D的坐标。
(3)①由BE与OA平行且相等,可判定四边形OAEB为平行四边形。
②点M在点B的左右两侧均有可能,需要分类讨论:
∵O(0,0),B(1,
),F为OB的中点,∴F(
,
)。
过点F作FN⊥直线BD于点N,则FN=
﹣
=
,BN=1﹣
=
。
在Rt△BNF中,由勾股定理得:
。
∵∠BMF=
∠MFO,∠MFO=∠FBM+∠BMF,∴∠FBM=2∠BMF。
(I)当点M位于点B右侧时.
在直线BD上点B左侧取一点G,使BG=BF=
,连接FG,则GN=BG﹣BN=1,
在Rt△FNG中,由勾股定理得:
。
∵BG=BF,∴∠BGF=∠BFG。
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF,
∴∠BFG=∠BMF。
又∵∠MGF=∠MGF,∴△GFB∽△GMF。
∴
,即
。
∴BM=
。
(II)当点M位于点B左侧时,
设BD与y轴交于点K,连接FK,则FK为Rt△KOB斜边上的中线,
∴KF=
OB=FB=
。∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF。
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK,∴∠BMF=∠MFK。∴MK=KF=
。
∴BM=MK+BK=
+1=
。
综上所述,线段BM的长为
或
。