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    （2011•鞍山一模）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．
    （1）求梯形ABCD的面积S；
    （2）动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以2cm/s的速度、沿C→D→A方向，向点A运动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
    问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由；
    ②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）求面积要先求梯形的高，在直角三角形中用勾股定理进行求解，得出底边后即可求出梯形的面积．
    （2）①PQ平分梯形的周长，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的长，可以用t来表示出AP，BP，CQ，QD的长，那么可根据上面的等量关系求出t的值，再求出梯形面积即可得出答案；
    ②分三种情况进行讨论：
    一、当P在AB上时，即0≤t≤4，等腰△PDQ以DQ为腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通过构建直角三角形来表示出DP，PQ的长，然后根据得出的等量关系来求t的值．
    二、当P在AD上时，即4＜t＜5，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-2t，因此DP，DQ恒相等．
    三、当P在CD上时，即5＜t≤6．综合三种情况可得出等腰三角形以DQ为腰时，t的取值．
    解答：解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，
    ∵AD∥BH，DH∥AB，
    ∴四边形ABHD是平行四边形．
    ∴DH=AB=8；BH=AD=2．
    ∵CD=10，
    ∴HC=
    		CD 2-DH2
    =6，
    ∴BC=BH+CH=8，
    ∴SABCD=
    1
    2
    （AD+BC）AB=
    1
    2
    ×（2+8）×8=40．

    （2）①∵BP=CQ=2t，
    ∴AP=8-2t，DQ=10-2t，
    ∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
    ∴8-2t+2+10-2t=2t+8+2t．
    ∴t=
    3
    2
    ＜4．
    ∴当t=
    3
    2
    秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．
    QC=3，PB=3，
    ∵QE∥DH，
    ∴
    QC
    DC
    =
    QE
    DH
    =
    EC
    HC
    ，
    ∴
    3
    10
    =
    QE
    8
    =
    EC
    6
    ，
    ∴QE=
    12
    5
    ，EC=
    9
    5
    ，
    BE=8-
    9
    5
    =
    31
    5
    ，
    四边形PBCQ面积=S梯形QEBP+S△QEC=
    1
    2
    （PB+QE）×BE+
    1
    2
    QE×EC，
    =
    1
    2
    ×（
    12
    5
    +3）×
    31
    5
    +
    1
    2
    ×
    12
    5
    ×
    9
    5
    ，
    =
    189
    10
    ，
    =18.9，
    所以PQ不平分梯形ABCD的面积．


    ②第一种情况：当0≤t≤4时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．
    ∵AP=8-2t，AD=2，
    ∴PD=
    		AP2+AD2
    =
    		4 t2-32t+68
    ．
    ∵CE=
    6
    5
    t，QE=
    8
    5
    t，
    ∴QH=BE=8-
    6
    5
    t，BH=QE=
    8
    5
    t．
    ∴PH=2t-
    8
    5
    t=
    2
    5
    t．
    ∴PQ=
    		HQ2+PH2
    =
    		(8-
    6
    5
    )    2    +(
    2
    5
    ) 2
    =
    8
    5
    t2-
    96
    5
    t+64
    ，
    DQ=10-2t．
    Ⅰ：DQ=DP，10-2t=
    		4 t2-32t+68
    ，
    解得t=4秒．
    Ⅱ：DQ=PQ，10-2t=
    8
    5
    t2-
    96
    5
    t+64
    ，
    化简得：3t2-26t+45=0
    解得：t=
    13-
    		34
    3
    ，t=
    13+
    		34
    3
    ＞4（不合题意舍去），
    ∴t=
    13-
    		34
    3
    ，
    ∴第二种情况：4≤t＜5时．DP=DQ=10-2t．
    ∴当4≤t＜5时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
    第三种情况：5＜t≤6时．DP=DQ=2t-10．
    ∴当5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
    综上所述，t=
    13-
    		34
    3
    或4，4≤t＜5或5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．
    点评：此题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，要注意（3）中要根据P，Q的不同位置，进行分类讨论，不要漏解．
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