Question

已知：如图，边长为2的等边三角形ABC内接于⊙O，点D在上运动，但与A、C两点不重合，连接AD并延长交BC的延长结于P．
（1）求⊙O的半径；
（2）设AD为x，AP为y，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）D点在运动过程中是否存在这样的位置，使得△BDP成为以DB、DP为腰的等腰三角形？若存在，请你求出此时AD的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过O作OE⊥AB于E，连接OA
在Rt△AEO中，∠EAO=30°
AE=
∴
∴OA=2

（2）连接CD，则∠ABC+∠ADC=180°
又∠ACB+∠ACP=180°，∠ABC=∠ACB=60°
∴∠ADC=∠ACP=120°
又∵∠CAD=∠PAC
∴△ADC∽△ACP
∴
∴AC²=AD•AP
∴y==（0＜x＜2）

（3）假设D点在运动的过程中存在这样的位置，使得△DBP成为以DB，DP为腰的等腰三角形，那么DB=DP
∵∠BDC=∠BAC=60°，∠CDP=∠ABC=60°
∴∠BDC=∠CDP
∴CD⊥BP
∴DB是圆的直径，BD=4，DP=4
∵DP=AP-AD=y-x=-x=4
即x²+4x-12=0
∵△=42-4×（-12）=64＞0
∴关于x的方程x²+4x-12=0有两个不相等的实根，说明假设成立
∴x₁=2，x₂=-6（线段不能为负，舍去）
∴D点在运动的过程中存在这样的位置：即当AD=2时，△BDP成为以BD，PD为腰的等腰三角形．
分析：（1）过O作OE⊥AB于E，连接OA，根据等边三角形的性质和垂径定理可以E是AB的中点∠EAO=30°这样解直角三角形就可以求出半径了；
（2）连接CD，利用圆内接四边形的性质可以得到∠ADC=∠ACP=120°，还有一个公共角，可以证明△ADC∽△ACP，然后利用相似三角形的性质就可以求出函数的关系式；
（3）此题是探究性题目，一般假设结论成立，然后利用已知条件进行推理，然后进行判断．这里假设D点在运动的过程中存在这样的位置，使得△DBP成为以DB，DP为腰的等腰三角形，然后根据假设结合已知条件可以得到DB是圆的直径，这样可以得到关于x的方程，解方程就可以判断假设是否成立，然后根据方程的解就求出此时AD的长．
点评：此题综合性比较强，把一元二次方程，等边三角形，相似三角形，求函数关系式等知识放在圆的背景中，利用这些知识探究，解题．对学生的要求比较高．