Question

20．在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．
感知：如图①，当点H与点C重合时，可得FG=FD（不必证明）．
探究：如图②，当点H为边CD上任意一点时，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．
应用：在图②中，当AB=5，BE=3时，利用探究的结论，直接写出FG的长为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 感知：连接AF，根据图形猜想FD=FG，由折叠的性质可得AB=AG=AD，再结合AF为△AGF和△ADF的公共边，从而证明Rt△AGF≌Rt△ADF，从而得出结论．
探究：连接AF，根据图形猜想FD=FG，由折叠的性质可得AB=AG=AD，再结合AF为△AGF和△ADF的公共边，从而证明Rt△AGF≌Rt△ADF，从而得出结论．
应用：设FG=x，则FC=5-x，FE=3+x，在Rt△ECF中利用勾股定理可求出x的值，进而可得出答案．

解答 感知：解：连接AF，如图①所示：
由折叠的性质可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{AG=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL）．
∴FG=FD．
故答案为：=；
探究：解：猜想FD=FG．理由如下：
连接AF，如图②所示：
由折叠的性质可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{AG=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL）．
∴FG=FD．
应用：解：设FG=x，则FC=5-x，FE=3+x，
在Rt△ECF中，EF²=FC²+EC²，即（3+x）²=（5-x）²+2²，
解得x=$\frac{5}{4}$．
即FG的长为$\frac{5}{4}$；
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了翻折变换及正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．