Question

（1）一个正数的平方根为3-a和2a+3，则这个正数是______
（2）若x²+2x+y²-6y+10=0，则x^y=______
（3）已知a，b分别是6-的整数部分和小数部分，则2a-b=______
（4）阅读下面的问题，并解答问题：
1）如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数是多少？（请在下列横线上填上合适的答案）
分析：由于PA，PB，PC不在同一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转到△ACP′处，此时可以利用旋转的特征等知识得到：
  ①∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C；
  ②AP=AP′，且∠PAP′=______度，所以△APP′为______三角形，则∠AP′P=______度；
  ③P′C=BP=4，P′P=AP=3，PC=5，所以△PP′C为______三角形，则∠PP′C=______度，从而得到∠APB=______度．
 2）请你利用第1）题的解答方法，完成下面问题：
如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为边BC上的点，且∠EAF=45°，试说明：EF²=BE²+FC²．

Answer 1

解：（1）∵一个正数的平方根是3-a和2a+3，
∴3-a和2a+3互为相反数，
即（3-a）+（2a+3）=0；
解得a=-6，
则3-a=9；
则这个数为9²=81；
故答案为：81，
（2）∵x²+2x+y²-6y+10=0，
∴（x+1）²+（y-3）²=0，
∴x+1=0，y-3=0，
∴x=-1，y=3，
则x^y=-1，
故答案为：-1，
（3）解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴2＜6-＜3，
∴a=2，
∴b=6--2=4-，
∴2a-b=2×2-（4-）=．
故答案是．

（4）
1）将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，
∴∠BAC=PAP′=60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′=60°，
因为B P P′不一定在一条直线上
连接PC，△PP′C是直角三角形，∠APB=∠AP′C=150°，
∴∠BPA=150°；
故答案是：②60，等边，60，③直角，90°，150°；

2）把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．
则△ACF≌△ABG．
∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．
∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．
∴∠GAE=∠EAF=45°，
又AG=AF，AE=AE．
∴△AEG≌△AFE．
∴EF=EG，
又∠GBE=90°，
∴BE²+BG²=EG²，
即BE²+CF²=EF²．
分析：（1）根据正数的平方根有两个，且互为相反数，由此可得a的方程，解方程即可得到a的值；进而可得这个正数的平方根，最后可得这个正数的值．
（2）利用x²+2x+y²-6y+10=0，将原式配方得到（x+1）²+（y-3）²=0进而求出即可；
（3）先估算的取值范围，进而可求6-的取值范围，从而可求a，进而求b，最后把a、b的值代入计算即可．
（4）
1）此类题要充分运用旋转的性质，以及全等三角形的性质得对应角相等，对应边相等，得出∠PAP′=60°，再利用等边三角形的判定得出△APP′为等边三角形，即可得出∠APP′的度数，即可得出答案；
2）利用已知首先得出△AEG≌△AFE，即可把EF，BE，FC放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明．
点评：此题主要考查了旋转的性质、完全平方公式及非负数的性质、平方根的概念、无理数的估算等知识，充分运用全等三角形的性质找到相关的角和线段之间的关系以及确定无理数的整数部分是解决问题的关键．