Question

如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接等边三角形ABC．黄皓、李明两位同学的作法分别是：
黄皓：1．作OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点，
      2．连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形．
李明：1．以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点，
      2．连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形．
已知两位同学的作法均正确，请选择其中一种作法补全图形，并证明△ABC是等边三角形．
解：我选择

黄皓

的作法．
证明：

Answer 1

分析：若选择黄皓的作法，连接OB、OC．根据AD为⊙O的直径，BC是半径OD的垂直平分线，由垂径定理可知

AB

=

AC

，

BD

=

CD

，OE=

1

2

OD=

1

2

OC，所以AB=AC．在Rt△OEC中由锐角三角函数的定义可得出cos∠EOC的值，进而可求出∠EOC的度数，进而可得出结论；
若选择李明的作法．连接DB、DC，由作图可知，DB=DO=DC，在⊙O中可知OB=OD=OC，故可得出△OBD和△OCD都是等边三角形，再根据

AB

=

AB

，

AC

=

AC

可知∠ODB=∠ACB=60°，∠ABC=∠ODC=60°，故可得出结论．

解答：解：我选择黄皓的作法．如图1，
证明：连接OB、OC．
∵AD为⊙O的直径，BC是半径OD的垂直平分线，
∴

AB

=

AC

，

BD

=

CD

，OE=

1

2

OD=

1

2

OC，
∴AB=AC．
在Rt△OEC中，
∴cos∠EOC=

OE

OC

=

1

2

，
∴∠EOC=60°，
∴∠BOC=120°．
∴∠BAC=60°．
∴△ABC是等边三角形．
我选择李明的作法．如图2；
证明：连接DB、DC．
由作图可知：
DB=DO=DC，
在⊙O中，
∴OB=OD=OC，
∴△OBD和△OCD都是等边三角形，
∴∠ODB=∠ODC=60°，
∵

AB

=

AB

，

AC

=

AC

，
∴∠ODB=∠ACB=60°，∠ABC=∠ODC=60°，
∴△ABC是等边三角形．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到垂径定理及圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识，难度适中．