Question

【题目】已知，如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD 于 M，请你通过观察和测量，猜想线段 AB、AC 之和与线段 AM 有怎样的数量关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】AB+AC=2AM．证明见解析

【解析】

根据题目提供的条件和图形中线段的关系，做出猜想AB+AC=2AM，过点C作CE∥AB，CE与AM的延长线交于点E，进一步证明AB+AC=AB+CE=AD+ED=AE，从而得到AB+AC=2AM．

猜想：AB+AC=2AM．

证明：过点C作CE∥AB，CE与AM的延长线交于点E．
则∠ECD=∠B，∠E=∠BAD．
（两直线平行，内错角相等）
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．
（角平分线定义）
∴∠E=∠CAD．（等量代换）
∴AC=EC．（等角对等边）
又CM⊥AD于M，
∴AM=ME，即AE=2AM．
（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合）
∵AD=AB，∴∠B=∠ADB．（等边对等角）
又∠EDC=∠ADB，（对顶角相等）∴∠ECD=∠EDC．（等量代换）
∴ED=EC．（等角对等边）
∴AB+AC=AB+CE=AD+ED=AE．（等量代换）
∴AB+AC=2AM．