在直角坐标系中.点A坐标为.点B的坐标为(0.b).以AB为边作等腰直角△ABC.其中点A.B.C成顺时针顺序排列.AB=BC．(1)如图1.求点C的坐标(2)如图2.若b=3.点D为边BC边上一动点.点T为线段BD的中点.TE⊥BC于T.交AC于点E.DF⊥AC于点F.求EF的长(3)点G与点A关于y轴对称.连接CG.记∠OAB=α.∠BCG=β.若α.β均为锐角.当b的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

18．在直角坐标系中，点A坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，b），以AB为边作等腰直角△ABC，其中点A、B、C成顺时针顺序排列，AB=BC．

（1）如图1，求点C的坐标（含字母b）
（2）如图2，若b=3，点D为边BC边上一动点，点T为线段BD的中点，TE⊥BC于T，交AC于点E，DF⊥AC于点F，求EF的长
（3）点G与点A关于y轴对称，连接CG，记∠OAB=α，∠BCG=β，若α、β均为锐角，当b的取值发生变化时，α与β之间可能满足什么等量关系？请直接写出你的结论．

分析（1）作CM⊥OB垂足为M，由△ABO≌△BCM得AO=BM=3，MC=BO=b即可写出点C坐标．
（2）首先证明点C在x轴上，设BT=TD=a，用a表示线段AE、FC，根据EF=AC-AE-FC即可求出EF．
（3）作CM⊥OB，GN⊥CM垂足分别为M、N．由△ABO≌△BCM得AO=BM，BO=CM，由∠MOG=∠GNM=∠NMO=90°得四边形MNGC是矩形，得到MN=OG=AO=BM，即NC=OM=NG，所以∠NGC=∠NCG=45°即可推出∠OGC=135°，再根据四边形内角和定理得出结论．

解答解：（1）如图1，作CM⊥OB垂足为M，
∵∠ABC=∠BMC=90°，
∴∠ABO+∠，MBC=90°，∠MBC+∠MCB=90°，
∴∠ABO=∠MCB，
在△ABO和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BMC=90°}\\{∠ABO=∠MCB}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCM，
∴AO=BM=3，BO=MC=b，MO=b-3，
∴点C坐标（b，b-3）．
（2）如图2，作EM⊥AB垂足为M，
∵OA=OB=3，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠OBC=∠BC-∠ABO=45°，
∵BA=BC，∠ABO=∠OBC，
∴AO=OC，BO⊥AC，
∴点C在x轴上，设BT=TD=a，
∵∠EMB=∠MBT=∠BTE=90°，
∴四边形BMET是矩形，
∴ME=BT=a，
在RT△AME中，∵∠A=45°，ME=a，
∴AE=$\sqrt{2}$ME=$\sqrt{2}$a，
在RT△DCF中，∵∠C=45°CD=3$\sqrt{2}$-2a，
∴FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=3-$\sqrt{2}$a，
∴EF=AC-AE-FG=6-$\sqrt{2}$a-（3-$\sqrt{2}$a）=3．
（3）结论：α+β=135°，理由如下：
证明：如图3中，作CM⊥OB，GN⊥CM垂足分别为M、N．
由（1）可知△ABO≌△BCM，
∴AO=BM，BO=CM，
∵∠MOG=∠GNM=∠NMO=90°，
∴四边形MNGC是矩形，
∴MN=OG=AO=BM，
∴NC=OM=NG，
∴∠NGC=∠NCG=45°，
∵CM∥OG，
∴∠NGO=∠GNC=90°，
∴∠OGC=135°，
在四边形ABCG中，∵∠BAO+∠ABC+∠BCG+∠AGC=360°，
∴α+β+90°+135°=360°，
∴α+β=135°．

点评本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，通过作辅助线构造全等三角形或矩形是解题的关键．

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（2）当∠BAC外角平分线交DE于E时，如图②、如图③，AC、AB、AF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（2）的条件下，若AB+AC=10，AF=2，则AB=3或7．

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6．

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（1）求证：△BDM为等腰直角三角形；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，其他条件不变，结论是否依然成立？
将△ADE绕点A逆时针旋转90°，其他条件不变，结论是否依然成立？
将△ADE绕点A逆时针旋转135°，其他条件不变，结论是否依然成立？
以上三种情况请你选择一种情况，画出相应的图形，并证明你的结论．

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