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    14．如图1，在?ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将?ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．
    （1）则点E到CD的距离为3$\sqrt{3}$；
    （2）当点H与点C重合时，
    ①证明：CE=CF；
    ②求：BE和CF的长；
    （3）当点H落在射线BC上，且CH=1时，直线EH与直线CD交于点M时．
    ①请直接写出BE的长；
    ②在①的基础上求ME的长．

    分析 （1）如图1中，作EP⊥CD，CH⊥AB垂足分别为P、H，先证明PE=HC，在RT△BCH中求出CH即可．
    （2）①只要证明∠CEF=∠CFE即可．
    ②如图2中，过点E作EP⊥BC于P，设PB=m，则BE=2m，在RT△ECP中利用勾股定理即可．
    （3）①如图3中，当点H在BC边上时，设BE=x，在RT△EPH中利用勾股定理即可解决．如图4中，当点H在BC的延长线上时，设BE=x，在RT△EPH中利用勾股定理即可解决．
    ②如图3中，当点H在BC边上时，设BE=x，由AB∥CD得$\frac{EM}{BC}$=$\frac{EH}{BH}$，列出方程即可解决，如图4中，当点H在BC的延长线上时，设BE=x，由AB∥CD得$\frac{EM}{BC}$=$\frac{EH}{BH}$，列出方程即可解决．

    解答 （1）解：如图1中，作EP⊥CD，CH⊥AB垂足分别为P、H，
    ∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴AB∥CD，
    ∵∠EPC=∠EHC=90°，∠PEH+∠EPC=180°
    ∴∠PEH=∠EHC=∠EPC=90°，
    ∴四边形EHCP是矩形，
    ∴EP=CH
    在RT△BCH中，∵∠CHB=90°，BC=6，∠B=60°，
    ∴BH=3，HC=$\sqrt{3}$BH=3$\sqrt{3}$，
    ∴EP=3$\sqrt{3}$，
    ∴点E到CD的距离为3$\sqrt{3}$．
    故答案为3$\sqrt{3}$．
    （2）①证明：如图1中，由折叠可知，∠AEF=∠CEF，
    ∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴AB∥CD，
    ∴∠AEF=∠CFE，
    ∴∠CEF=∠CFE，
    ∴CE=CF．
    ②解：如图2中，过点E作EP⊥BC于P．
    ∵∠EPB=90°，∠B=60°，
    ∴BE=2PB，设PB=m，则BE=2m，
    ∴EP=BE•sin60°=2m•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$m，
    ∵AE=CE，AB=8，
    ∴CF=AE=CE=8-2m，
    在RT△ECP中，∵EC2-PC2=PE2，
    ∴（8-2m）2-（6-m）2=（$\sqrt{3}$m）2，
    ∴m=$\frac{7}{5}$，
    ∴PB=$\frac{7}{5}$，BE=$\frac{14}{5}$，
    ∴CF=CE=8-2m=$\frac{26}{5}$．
    （3）①如图3中，当点H在BC边上时，设BE=x，则PB=$\frac{1}{2}$x，PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，PH=BC-CH-PB=5-$\frac{1}{2}$x，
    ∵AE=EH=8-x，
    在RT△EPH中，∵EH2=EP2+PH2，
    ∴（8-x）2=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）2+（5-$\frac{1}{2}$X）2，
    ∴X=$\frac{39}{11}$，
    ∴BE=$\frac{39}{11}$．
    如图4中，当点H在BC的延长线上时，设BE=x，
    在RT△EPH中，∵∠EPH=90°，EH=AE=8-x，EP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，PH=7-$\frac{1}{2}$x，
    ∴（8-x）2=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）2+（7-$\frac{1}{2}$x）2，
    ∴x=$\frac{5}{3}$，
    ∴BE=$\frac{5}{3}$．
    ∴当点H落在射线BC上，且CH=1时，BE=$\frac{39}{11}$或$\frac{5}{3}$．
    ②当点H在BC边上时，∵BE=$\frac{39}{11}$，EH=AE=8-$\frac{39}{11}$=$\frac{49}{11}$，CH=1，BH=BC-CH=5，
    ∵AB∥CD，
    ∴$\frac{EM}{BC}$=$\frac{EH}{BH}$，
    ∴$\frac{EM}{6}$=$\frac{\frac{49}{11}}{5}$，
    ∴EM=$\frac{294}{55}$．
    当点H在BC的延长线时，∵BE=$\frac{5}{3}$，EH=AE=8-$\frac{5}{3}$=$\frac{19}{3}$，CH=1，BH=BC+CH=7，
    ∵AB∥CD，
    ∴$\frac{EM}{BC}$=$\frac{EH}{BH}$，
    ∴$\frac{EM}{6}$=$\frac{\frac{19}{3}}{7}$，
    ∴EM=$\frac{38}{7}$．
    ∴EM的长为$\frac{294}{55}$或$\frac{38}{7}$．

    点评 本题考查四边形综合题、翻折变换、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是利用勾股定理或平行线分线段成比例定理列出方程，把数学问题转化为方程解决，属于中考常考题型．

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