Question

已知抛物线y=-x²+2mx-m²+2的顶点A在第一象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与点A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D并交抛物线于点P．
（1）若点C（1，a）是线段AB的中点，求点P的坐标；
（2）若直线AP交y轴的正半轴于点E，且AC=CP，求△OEP的面积S的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意得顶点A的坐标为（2，a），然后设P（1，n）代入x=-

b

2a

，得A点的横坐标为m，求得函数的解析式，把P点的坐标代入得n=1，从而求得函数的解析式；
（2）把抛物线化为顶点式：y=-（x-m）²+2，求得其顶点坐标，设C（n，2），然后表示出P（n，-（n-m）²+2）根据AC=CP求得m-n的值，然后表示出OB、OE的值从而表示出△OPE的面积，进而求得面积的取值范围．

解答：解：（1）依题意得顶点A的坐标为（2，a），
设P（1，n）据x=-

b

2a

，得A点的横坐标为m，即m=2，
所以y=-x²+4x-2，把P点的坐标代入得n=1，
即P点的坐标为（1，1）

（2）把抛物线化为顶点式：y=-（x-m）²+2，
可知A（m，2），设C（n，2），
把n代入y=-（x-m）²+2得y=-（n-m）²+2，
所以P（n，-（n-m）²+2）
∵AC=CP
∴m-n=2+（m-n）²-2，
即m-n=（m-n）²，
∴m-n=0或m-n=1，
又∵C点不与端点A、B重合
∴m≠n，
即m-n=1，
则A（m，2），P（m-1，1）
由AC=CP可得BE=AB
∵OB=2
∴OE=2-m，
∴△OPE的面积S=

1

2

（2-m）（m-1）=-

1

2

（m-

3

2

）²+

1

8

（1＜m＜2），
∴0＜S≤

1

8

．

点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确的用字母表示出点的坐标，并利用题目的已知条件得到有关的方程或不等式，从而求得未知数的值或取值范围．