Question

【题目】如图，已知在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过O点的射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于点P，下列结论：

①图形中全等的三角形只有三对； ②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④BE+BF＝OA；⑤AE2+BE2＝2OPOB．其中正确的个数有（　　）个．

A. 4B. 3C. 2D. 1

Answer 1

【答案】B

【解析】

由正方形的性质和已知条件得出图形中全等的三角形有四对，得出①不正确；由△AOE≌△BOF，得出对应边相等OE=OF，得出②正确；由△AOE≌△BOF，得出四边形OEBF的面积=△ABO的面积=正方形ABCD的面积，③正确；由△BOE≌△COF，得出BE=CF，得出BE+BF=AB=OA，④错误；由△AOE≌△BOF，得出AE=BF，得出AE2+CF2=BE2+BF2=EF2=2OF2，再证明△OPF∽△OFB，得出对应边成比例OP：OF=OF：OB，得出OF2=OPOB，得出⑤正确．

解：①不正确；

图形中全等的三角形有四对：△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，∠BAO＝∠BCO＝45°，

在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS）；

∵点O为对角线AC的中点，

∴OA＝OC，

在△AOB和△COB中，

，

∴△AOB≌△COB（SSS）；

∵AB＝CB，OA＝OC，∠ABC＝90°，

∴∠AOB＝90°，∠OBC＝45°，

又∵∠EOF＝90°，

∴∠AOE＝∠BOF，

在△AOE和△BOF中，

，

∴△AOE≌△BOF（ASA）；

同理：△BOE≌△COF（ASA）；

②正确；理由如下：

∵△AOE≌△BOF，

∴OE＝OF，

∴△EOF是等腰直角三角形；

③正确．理由如下：

∵△AOE≌△BOF，

∴四边形OEBF的面积＝△ABO的面积＝正方形ABCD的面积；

④不正确．理由如下：

∵△BOE≌△COF，

∴BE＝CF，

∴BE+BF＝CF+BF＝BC＝AB＝OA；

⑤正确．理由如下：

∵△AOE≌△BOF，

∴AE＝BF，

∴AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2＝2OF2，

在△OPF与△OFB中，

∠OBF＝∠OFP＝45°，

∠POF＝∠FOB，

∴△OPF∽△OFB，

∴OP：OF＝OF：OB，

∴OF2＝OPOB，

∴AE2+CF2＝2OPOB．

正确结论的个数有3个；

故选：B．