Question

【题目】（1）如图 1 所示，△ ABC 和△ AEF 为等边三角形，点 E 在△ ABC 内部，且 E 到点 A、B、C 的距离分别为 3、4、5，求∠AEB 的度数．

（2）如图 2，在△ ABC 中，∠CAB=90°，AB=AC，M、N 为 BC 上的两点，且∠MAN=45°，MN2 与 NC2+BM2 有何关系？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）MN2=NC2+BM2.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定可知CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，再由勾股定理的逆定理可知∠CFE=90°，从而可求出∠AEB；

（2）根据旋转的性质和全等三角形的判定可知CF=BM 、MN=FN，由题意可证∠FCN=90°，进而可证明MN2=NC2+BM2.

解：（1）连接 FC，如图1所示：

∵△ABC 和△ AEF 为等边三角形，

∴AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，

∴∠BAE=∠CAF=60°﹣∠CAE，

在△ BAE 和△ CAF 中，

∴△BAE≌△CAF（SAS），

∴CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，

又∵EF=3，CE=5，

∴CE2=EF2+CF2，

∴∠CFE=90°，

∵∠AFE=60°，

∴∠AFC=90°+60°=150°，

∴∠AEB=∠AFC=150°；

（2）MN2=NC2+BM2，理由如下：

将△ ABM 绕 A 点逆时针旋转 90°，得到△ AFC，如图 2 所示： 则 AM=AF，CF=BM，∠BAM=∠CAF，∠B=∠ACF，

∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，

∴∠NAF=∠CAN+∠FAC=∠CAN+∠BAM=90°﹣45°=45°=∠MAN，

在△ MAN 和△ FAN 中，

∴△MAN≌△FAN（SAS），

∴MN=FN，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵∠B=∠ACF，

∴∠ACF=45°，

∴∠FCN=90°，

由勾股定理得：NF2=CF2+CN2，

∵CF=BM，NF=MN，

∴MN2=NC2+BM2．