Question

15、如图所示，等腰Rt△ABC内一点D，若AD=2，BD=6，∠ADC=135°，则CD=

4

．

Answer 1

分析：如图，把△ACD绕点C旋转90°得△BCD′，根据旋转的性质得△ACD≌△BCD′，可推得A、D、D′三点共线，在直角△DD′B和直角△DCD′中，根据勾股定理，可求得结论；

解答：解：如图，把△ACD绕点C旋转90°得△BCD′，
∴△ACD≌△BCD′，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ADC=135°，连接DD′，
∴∠DCD′=90°，∠CD′B=135°，CD=CD′，AD=BD′，
∴△DCD′是等腰直角三角形，即∠DD′B=∠CD′B-∠CD′D=135°-45°=90°，
∴∠CDD′=45°，∴∠ADC+∠CDD′=180°，即A、D、D′三点共线，
∴在直角△DD′B中，BD²=DD′²+BD′²，
又∵在直角△DCD′中，CD²+CD′²=DD′²，
∴2CD²=BD²-BD′²，
即2CD²=36-4=32，
∴CD=4；
故答案为4．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及旋转的性质，①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．