[题目]如图.在平面直角坐标系中.抛物线与轴交于.两点(点在点的左侧).与轴交于点.对称轴与轴交于点.点在抛物线上.(1)求直线的解析式.(2)点为直线下方抛物线上的一点.连接..当的面积最大时.连接..点是线段的中点.点是线段上的一点.点是线段上的一点.求的最小值.(3)点是线段的中点.将抛物线与轴正方向平移得到新抛物线.经过点.的顶点为点.在新抛物线的对称轴上.是否存在点.使得为等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在抛物线上.

（1）求直线的解析式.

（2）点为直线下方抛物线上的一点，连接，.当的面积最大时，连接，，点是线段的中点，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值.

（3）点是线段的中点，将抛物线与轴正方向平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点，在新抛物线的对称轴上，是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）3；（3）存在，点Q的坐标为或或或.

【解析】

（1）求出点A、B、E的坐标，设直线的解析式为，将点A和点E的坐标代入即可；

（2）先求出直线CE解析式，过点P作轴，交CE与点F，设点P的坐标为，则点F，从而可表示出△EPC的面积，利用二次函数性质可求出x的值，从而得到点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M，当点O、N、M、H在一条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值＝GH，利用勾股定理求出GH即可；

(3)由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为三种情况讨论求解即可.

解：（1）

当时，

设直线的解析式为，将点A和点E的坐标代入得

解得

所以直线的解析式为.

（2）设直线CE的解析式为，将点E的坐标代入得:

解得:

直线CE的解析式为

如图，过点P作轴，交CE与点F

设点P的坐标为，则点F

则FP＝

∴当时，△EPC的面积最大，

此时

如图2所示:作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M

K是CB的中点，

OD＝1，OC＝3

K是BC的中点，∠OCB＝60°

点O与点K关于CD对称

点G与点O重合

∴点G(0，0)

点H与点K关于CP对称

∴点H的坐标为

当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值＝GH

的最小值为3.

（3）如图

经过点D，的顶点为点F

∴点

点G为CE的中点，

当FG＝FQ时，点或

当GF＝GQ时，点F与点关于直线对称

点

当QG＝QF时，设点的坐标为

由两点间的距离公式可得：，解得

点的坐标为

综上所述，点Q的坐标为或或或

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