Question

2．已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（2，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线表示的二次函数的表达式；
（2）如图，点P是第一象限内此抛物的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+1）（x-2），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）连结OP，如图，设P（t，-t²+t+2），根据三角形面积公式，利用四边形ABPC的面积=S_△AOC+S_△POC+S_△OBP可表示出四边形ABPC的面积=-t²+2t+3，然后利用二次函数的性质确定P点坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-2），
把C（0，2）代入得a•1•（-2）=2，解得a=-1，
所以抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-2），即y=-x²+x+2；
（2）连结OP，如图，设P（t，-t²+t+2），
四边形ABPC的面积=S_△AOC+S_△POC+S_△OBP
=$\frac{1}{2}$•1•2+$\frac{1}{2}$•2•t+$\frac{1}{2}$•2•（-t²+t+2）
=-t²+2t+3
=-（t-1）²+4，
当t=1时，四边形ABPC的面积最大，此时P点坐标为（1，2）．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解，