Question

9．如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出m的值；
（2）设点B的坐标为（n，$\frac{4}{n}$），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出n、k的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系，再由点A在一次函数图象上，可找出k、b的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=4×1=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$．
（2）∵点B在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴设点B的坐标为（n，$\frac{4}{n}$）．
将y=kx+b代入y=$\frac{4}{x}$中，得：
kx+b=$\frac{4}{x}$，整理得：kx²+bx-4=0，
∴4n=-$\frac{4}{k}$，即nk=-1①．
令y=kx+b中x=0，则y=b，
即点C的坐标为（0，b），
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$bn=3，
∴bn=6②．
∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，
∴1=4k+b③．
联立①②③成方程组，即$\left\{\begin{array}{l}{nk=-1}\\{bn=6}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴该一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积公式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）利用反比例函数系数k的几何意义求出m的值；（2）根据各关系量找出关于k、b、n的三元一次方程组．本题属于中档题，难度不大，但考到的知识点较多，解决该题型题目时，综合根与系数的关系、三角形的面积公式以及一次函数上点的坐标特征得出方程组是关键．